Quelltext der Seite Halbeinfache Lie-Gruppe

In der [[Mathematik]] ist eine '''halbeinfache Lie-Gruppe''' eine [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängende]] [[Lie-Gruppe]], deren [[Lie-Gruppe#Lie-Algebra_der_Lie-Gruppe|Lie-Algebra]] [[Halbeinfache_Lie-Algebra|halbeinfach]] ist.

== Äquivalente Charakterisierungen == 
Eine zusammenhängende Lie-Gruppe ist genau dann halbeinfach, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:
* die [[Killing-Form]] ist [[Bilinearform#Nicht ausgeartete_Bilinearform|nicht-ausgeartet]],
* es gibt keine normalen nicht-trivialen [[Auflösbare Gruppe|auflösbaren]] Untergruppen,
* es gibt keine normalen nicht-trivialen [[Abelsche Gruppe|abelschen]] Untergruppen.

== Beispiele ==

* [[Spezielle lineare Gruppe]]n: <math>SL(n,\mathbb R)</math>, <math>SL(n,\mathbb C)</math>
* [[Spezielle orthogonale Gruppe]] <math>SO(p,q)</math>
* [[Symplektische Gruppe]] <math>Sp(n)</math>
* Die obigen Beispiele sind [[Einfache Lie-Gruppe|einfache Lie-Gruppen]]. Die [[Direktes Produkt|direkten Produkte]] endlich vieler einfacher Lie-Gruppen sind ebenfalls halbeinfache Lie-Gruppen.
* [[Halbeinfache algebraische Gruppe]]n über <Math>\Complex</Math> sind halbeinfache Lie-Gruppen.

== Maximal kompakte Untergruppe ==
Zu einer halbeinfachen Lie-Gruppe <math>G</math> gibt es eine bis auf [[Konjugation (Gruppentheorie)|Konjugation]] eindeutige maximale [[Kompakter Raum|kompakte]] Untergruppe <math>K</math>. Beispielsweise ist [[Spezielle orthogonale Gruppe|SO(n)]] eine maximal kompakte Untergruppe von <math>SL(n,\R)</math> und [[Spezielle unitäre Gruppe|SU(n)]] eine maximal kompakte Untergruppe von <math>SL(n,\Complex)</math>.

==Symmetrischer Raum==
Sei <math>K</math> eine maximal kompakte Untergruppe der (nicht-kompakten) halbeinfachen Lie-Gruppe <math>G</math>. Der Quotient <math>G/K</math> ist ein [[Symmetrischer Raum#Typen symmetrischer Räume|symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ]]. 

Der [[Symmetrischer Raum#Dualität|duale symmetrische Raum]] wird mit <math>G^u/K</math> bezeichnet. Seine Isometriegruppe <math>G^u</math> ist eine kompakte Lie-Gruppe.

== Literatur ==

* Brian C. Hall: ''Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction.'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' 222). Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-40122-9.

[[Kategorie:Lie-Gruppe]]