Quelltext der Seite Operatornorm

Eine '''Operatornorm''' ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der [[Funktionalanalysis]]. Die Operatornorm verallgemeinert die Idee, einem Objekt eine Länge zuzuordnen, auf die Menge der [[Linearer Operator|linearen Operatoren]]. Sind die zu betrachtenden Operatoren [[Stetige Funktion|stetig]], so ist die Operatornorm eine echte [[Norm (Mathematik)|Norm]], andernfalls kann die Operatornorm den Wert unendlich annehmen. Die Operatornorm einer [[lineare Abbildung|linearen Abbildung]] zwischen endlichdimensionalen [[Vektorraum|Vektorräumen]] ist nach Wahl einer [[Basis (Vektorraum)|Basis]] eine [[natürliche Matrixnorm]].

== Definition ==
Seien <math>V</math> und <math>W</math> [[Normierter Raum|normierte Vektorräume]] und sei <math>f\colon V \rightarrow W</math> ein [[linearer Operator]]. Dann ist die Operatornorm
:<math> \| {\cdot} \| \;  \colon \;  \{f\colon V \to W \mid f\ \text{linear} \} \to \R^+_0 \cup \{\infty\}</math>

bezüglich der [[Norm (Mathematik)|Vektornormen]] <math>\| \cdot \|_V</math> und <math>\| \cdot \|_W</math> durch
:<math> \|f\| := \inf \left\{c\ge 0 \mid \forall x\in V\colon \|f(x)\|_W \le c\,\|x\|_V\right\}</math>

definiert. Dies ist äquivalent zu
:<math>\|f\| = \sup_{x \in V\setminus\{0\}} \frac{\|f(x)\|_W}{\|x\|_V} = \sup_{\|x\|_V = 1} \|f(x)\|_W = \sup_{\|x\|_V \leq 1} \|f(x)\|_W.</math>

== Eigenschaften ==
Die Operatornorm besitzt neben den für Normen charakteristischen drei Eigenschaften [[Definitheit]], [[Homogene Funktion|absolute Homogenität]] und [[Dreiecksungleichung]] noch weitere. Dies sind nicht zuletzt:

=== Gültigkeit der fundamentalen Ungleichung ===
Ist <math>f\colon V \to W</math> ein linearer Operator, so gilt für <math>x \in V </math> stets
:<math> \|f(x)\|_W \leq  \|f\|  \cdot {\|x\|_V}. </math>

=== Submultiplikativität ===
Sind <math>f\colon V \to W</math> und <math>g\colon X \rightarrow V</math> lineare Operatoren, so sind die jeweiligen Operatornormen zusätzlich zu den üblichen Normeigenschaften [[Submultiplikativität|submultiplikativ]]. Das heißt, es gilt
:<math> \|f \circ g\| \leq \|f\| \cdot \|g\|. </math>

=== Beschränktheit ===
Die Operatornorm [[Lineare Abbildung|linearer Abbildungen]] zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist stets endlich, da die [[Einheitskugel]] eine [[Kompakter Raum|kompakte Menge]] ist. Somit ist im endlichdimensionalen Fall die Operatornorm immer eine echte Norm. Für unendlichdimensionale Vektorräume gilt dies nicht immer. Operatoren, deren Norm unendlich als Wert annimmt, werden [[Unbeschränkter Operator|unbeschränkt]] genannt. Auf Räumen mit solch unbeschränkten Operatoren ist die Operatornorm streng genommen keine echte Norm. Man kann zeigen, dass ein linearer Operator zwischen normierten Räumen genau dann eine endliche Operatornorm hat, wenn er [[Beschränkter Operator|beschränkt]] und damit [[Stetige Funktion|stetig]] ist. Insbesondere wird dadurch der Raum der stetigen linearen Operatoren zu einem [[Normierter Raum|normierten Vektorraum]].

=== Vollständigkeit ===
Falls <math>W</math> [[Vollständiger Raum|vollständig]] ist, ist der Operatorraum <math>L(V,W)</math> vollständig. Der Raum <math>V</math> braucht nicht vollständig zu sein.

== Beispiele ==
=== Natürliche Matrixnormen ===
{{Hauptartikel|Natürliche Matrixnorm}}

Da man jeden linearen Operator zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen als Matrix <math>A \in {\mathbb K}^{m \times n}</math> darstellen kann, sind spezielle [[Matrixnorm]]en, die natürlichen oder [[Natürliche Matrixnorm|induzierten Matrixnormen]], naheliegende Beispiele für Operatornormen. Die wichtigsten dieser natürlichen Matrixnormen sind die drei folgenden.

*Die [[Spaltensummennorm]] ist die durch die [[Norm (Mathematik)#Summennorm|Summennorm]] induzierte Norm:
::<math>\| A \|_1 = \max_{\| x \|_1 = 1} \| Ax \|_1 = \max_{j=1, \ldots ,n} \sum_{i=1}^m | a_{ij} |.</math>

:Sie entspricht der maximalen Betragssumme aller Spalten der Matrix.

*Die [[Spektralnorm]] ist die durch die [[euklidische Norm]] induzierte Norm:
::<math>\| A \|_2 = \max_{\| x \|_2 = 1} \| Ax \|_2 = \sqrt{\lambda_{\max}(A^H A)}.</math>

:Sie entspricht der Quadratwurzel des betragsmäßig größten Eigenwerts von <math>A^{H} A</math>, wobei <math>A^{H}</math> die [[adjungierte Matrix]] (im reellen Fall [[transponierte Matrix]]) zu <math>A</math> ist.

*Die [[Zeilensummennorm]] ist die durch die [[Maximumsnorm]] induzierte Norm:
::<math>\| A \|_\infty = \max_{\| x \|_\infty = 1} \| Ax \|_\infty = \max_{i=1, \ldots ,m}{\sum_{j=1}^n | a_{ij} |}.</math>

:Sie entspricht der maximalen Betragssumme aller Zeilen der Matrix.

Jedoch ist nicht jede Matrixnorm eine Operatornorm. Die [[Gesamtnorm]] und die [[Frobeniusnorm]] sind beispielsweise keine Operatornormen.

=== Der Folgenraum l<sup>2</sup> ===
Sei <math>s = (s_i)_{i \in \N}</math> eine beschränkte [[Folge (Mathematik)|Folge]] und damit ein Element des [[Folgenraum]]s <math>\ell^\infty</math>, der mit der Norm <math>\textstyle \| s \|_{\infty} = \sup _n |s_n|</math> versehen ist. Definiere nun einen Multiplikationsoperator <math>T_s\colon \ell^2 \to \ell^2</math> durch <math>\textstyle a \mapsto (s_i \cdot a_i)_{i \in \N}</math>. Dann gilt für die entsprechende Operatornorm

:<math>\|T_s\| = \sup_{\|a\|_{\ell^2} \neq 0} \frac{\|T_s a\|_{\ell^2}}{\|a\|_{\ell^2}} = \sup_{\|a\|_{\ell^2} = 1} \sqrt{\sum_{i=1}^\infty |s_i \cdot a_i|^2} = \sup_i |s_i| = \|s\|_{\ell^\infty}.</math>

=== Norm eines (Pseudo-)Differentialoperators ===
Seien <math>s, \alpha > 0</math> und sei <math>P \colon H^s(\Omega) \to H^{s+\alpha}(\Omega)</math> ein beschränkter linearer Operator zwischen [[Sobolev-Raum|Sobolev-Räumen]]. Solche Operatoren können als [[Pseudodifferentialoperator]]en dargestellt werden. Unter bestimmten Umständen, insbesondere wenn die Ordnung der Sobolev-Räume ganzzahlig ist, sind die Pseudodifferentialoperatoren ([[Schwache Ableitung|schwache]]) [[Differentialoperator]]en. Der Raum der (Pseudo-)Differentialoperatoren kann mit einer Operatornorm versehen werden. Da die Norm im Sobolev-Raum durch <math>\|f\|_{H^s} = \|(1 + |\cdot|^2)^{\frac{s}{2}} \cdot \mathcal{F}(f)\|_{L^2}</math> gegeben ist, ist die Operatornorm für die (Pseudo)differentialoperatoren durch

:<math>\|P\| = \sup_{\|f\|_{H^s} \neq 0} \frac{\|P f\|_{H^{s + \alpha}}}{\|f\|_{H^s}} 
= \sup_{\|f\|_{H^s} \neq 0} \frac{\|(1 + |\cdot|^2)^{\frac{s+\alpha}{2}} \cdot \mathcal{F}(P f)\|_{L^2}} {\|(1 + |\cdot|^2)^{\frac{s}{2}} \cdot \mathcal{F}(f)\|_{L^2}}</math>

gegeben.

== Literatur ==
* [[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis'', Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Norm (Mathematik)]]