Benutzer:Felix92/Gromov-Wasserstein-Metrik

In der Mathematik bezeichnet die Gromov-Wasserstein-Metrik, benannt nach den Mathematikern Michail Leonidowitsch Gromow und Leonid Vaseršteĭn, eine Metrik auf der Klasse der Isometrieklassen von metrischen Maßräumen. Die Gromov-Wasserstein-Metrik ist umso geringer, je besser sich die gegebenen Räume miteinander in Deckung bringen lassen.

Definition

Seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (X, d_X, \mu) } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (Y, d_Y, \nu) } zwei metrische Maßräume. Dann ist die Gromov-Wasserstein-Metrik der Ordnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \leq p < \infty } definiert durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_{GW,p}(X,Y) := \frac{1}{2} \inf_{\gamma \in \Gamma(\mu,\nu)} \left( \int_{X \times Y} \int_{X \times Y} |d_X(x,x') - d_Y(y,y')|^{p}\gamma (dx \times dy)\gamma (dx' \times dy') \right) ^{\frac{1}{p}}, }

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma (\mu, \nu) } die Menge aller Kopplungen zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nu } ist, das heißt für alle messbaren Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \subseteq X } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B \subseteq Y } gilt:

$\gamma (A\times Y)=\mu (A){\text{ und }}\gamma (X\times B)=\nu (B).$

Für $p=\infty$ ist die Gromov-Wasserstein-Metrik definiert als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_{GW,p}(X,Y) := \frac{1}{2} \inf_{\gamma \in \Gamma(\mu,\nu)} \sup_{ (x,y),(x',y') \in \mathrm{supp}(\gamma)} d_X(x,x') - d_Y(y,y') } ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{supp}(\gamma) } der Träger des Maßes ist.

Beispiele

Metrischer Maßraum mit einem Punkt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\{z\},(0),\delta_z)} ist ein metrischer Maßraum mit genau einem Punkt. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (X,d_X,\mu_X)} ein beliebiger metrischer Maßraum. Dann gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d_{GW,p}(X,\{z\}) = \frac{1}{2} \left(\int_{X}\int_{X}(d_X(x,x')\mu_X(dx)\mu_X(dx')\right)^\frac{1}{p} }