Diskussion:Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff

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Einfachheitsargument ...

. Einfachheitsargument. Bei der Berechnung mit "Wahrscheinlichkeitsbäumen" müssen, wie bereits oben dargestellt, mehrere Regeln kombiniert werden. Beim Häufigkeitsbaum läßt sich die Antwort aus zwei "Endknoten" ablesen. In gewisser Weise klammert die Häufigkeitsdarstellung zunächst die schwer zu verstehende Inversion (aus P(A/B) soll etwas über P(B/A) ausgesagt werden) im Satz von Bayes aus. Im Wahrscheinlichkeitsbaum besteht diese Inversion darin, dass der Baum zunächst bis zu den Blättern aufzubauen ist (Verzweigungsregel), dann die Äste wieder zur Wurzel zurückzuverfolgen sind (1. Pfadregel) und schließlich gewisse Blätter zusammenzufassen sind (2. Pfadregel). Die Idee der Inversion wird dabei oft nicht genügend betont und verschwindet durch die Vielzahl der nötigen Operationen, wodurch der Sinn der Formel von Bayes unerkannt bleibt. Untersuchungen mit Studenten (Gigerenzer & Hoffrage, 1995) und Resultate von Schülerbefragungen (eigene Studie, unveröff. Manuskript) zeigten dieses Problem nur allzu häufig. Wir halten es für sinnvoll, zunächst die Struktur der Situation vom Prozess der mathematischen Abstraktion zu trennen. So entsteht beim Schüler schrittweise tiefere Einsicht in die Mathematisierung einer Situation, deren hohe Lebensbedeutung ihm erst klargemacht werden muß. Leider stellen wir immer wieder fest, dass diese Tatsache im Unterricht nicht gewürdigt und auch von den Lehrenden nicht richtig erkannt wird. Inversion Zitat geparkt --nerd 14:27, 24. Apr 2003 (CEST)

Die Berechnung von P(Ereignis|Prozess) ist sehr einfach, aber eigentlich ist P(Prozess|Ereignis) gesucht zitat geparkt --nerd 13:42, 26. Apr 2003 (CEST)

Da verschiedene Benutzer mit dem Artikel nicht ganz zufrieden sind, habe ich unter dem Link eine zweite Version von 'Bayes Wahrscheinlichkeitstheorie einen Alternativvorschlag gemacht. Wäre schön, wenn irgendeine unbefangene Person grosszügig Abschnitte rausstreicht und die Texte wieder verbindet. Philipp W.

Ich versuche mal, die zwei Artikel zu verbinden. Ich tue dies schrittweise, damit die Schritte einfacher rückgängig gemacht werden können.
Meiner Ansicht nach leidet der erste Artikel an zwei 'Krankheiten'. Erstens wird die Bedeutung und die Anwendung der Theorie weniger klar als im zweiten Artikel. Ich werde die entsprechenden Abschnitte nach und nach von 2. nach 1. verschieben. Zweitens scheint mir die axiomatische Herleitung (auch) der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie in diesem Zusammenhang eher nebensächlich. Hier schlage ich vor, die Abschnitte in andere Artikel zu verschieben oder zu löschen. Philipp W.

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Ich hab' die beiden Vergleiche "Bayessche W-Theorie" vs. "Klassische W-Theorie" in der Einleitung geloescht: Meiner Meinung nach ist der Ansatz, von einer Bayes-W-Theorie zu sprechen verfehlt. Es gibt nur eine W-Theorie in der Mathe. Die ist axiomatisiert und gibt an, wie man mit Wahrscheinlichkeiten rechnet. Es gibt verschiedene Ansaetze, Statistik mit dieser W-Theorie zu betreiben. Da Statistik (letztlich) Aussagen ueber die Welt machen will, braucht man Interpretationen des Begriffs "Wahrscheinlichkeit". Zwei populaere Interpetationen sind

• Frequentistisch: W-keit ist relative Haeufigkeit von Ereignissen bei wiederholten Experimenten
• Bayesianisch: W-keit ist vermutete Eintrittswahrscheinlichkeit ("degree of belief"). Das ist die "Bayesian probability".

Was der "richtige" W-keitsbegriff ist, ist letztlich eine philosophische Frage.

Ich muss zugeben, dass ich den Artikel nicht besonders gelungen finde, weil er nicht zwischen dem Satz von Bayes und dem Bayesschen W-keitsbegriff unterscheidet. Wesentlich besser sind m.E. die entsprechenden Artikel im englischen Wikipedia, wo diese Unterscheidung sehr genau gemacht wird (vgl. [1] und [2]). Wie waere es, die englischen Artikel einfach zu uebersetzen? (Matthias)

Gute idee bitte, bitte auch mit http://de.wikipedia.org/wiki/Eine_zweite_Version_von_'Bayes_Wahrscheinlichkeitstheorie zusammenführen. --'~'

Ich finde die Löschung der Beispiele keine Verbesserung. Dies war der einzige Abschnitt, in dem gesagt wurde, was Bayes eigentlich wollte und wozu die Formel gut ist. In der aktuellen Fassung macht es den Anschein, als würden die Bayesianer einfach intuitiv über den Daumen gepeilt einige Zahlen schätzen und diese dann 'Wahrscheinlichkeit' nennen. Philipp W.

Die Beispiele haben m.E. genau zur Verwechslung "Bayesscher W-keitsbegriff" vs. "Bayes-Theorem" (Bayes-Formel) beigetragen. Es wird nur Verwirrung gestiftet, wenn mehrere Konzepte durcheinander in einem Artikel vermengt werden. Die Beispiele zur Bayes-Formel sollten auf die Bayes-Theorem-Seite und die Beispiele zum W-Begriff (die Saturn-Geschichte) hierher.

Solche Verwechslungen sind naheliegend, weil der Titel "Bayessche Wahrscheinlichkeitstheorie" impliziert, es gebe eine spezielle W-Theorie von Bayes (und die haette etwas mit der Bayes-Formel zu tun). Es waere besser, der Artikel hiesse "Bayessche Wahrscheinlichkeit" (wie der hervorragende englische Artikel [3] zum gleichen Thema).

Die gleiche Konfusion droht sich zu wiederholen, sobald jemand den Artikel zur "Frequentistischen W-theorie" schreibt. (Matthias)

Ich finde den Abschnitt aus [4] auch sehr schön:

Bayesianism is the philosophical tenet that the mathematical theory of probability applies to the degree of plausibility of statements, or to the degree of belief of rational agents in the truth of statements. It is opposed to frequentism, which rejects degree-of-belief interpretations of mathematical probability, and assigns probabilities instead to random events according to their relative frequencies of occurrence. Whereas a frequentist might assign probability 1/2 to the event of getting a head when a coin is tossed (but only if the frequentist knows that that is the relative frequency) a Bayesian might assign probability 1/2 to the proposition that there was life on Mars a billion years ago, without intending that assignment to assert anything about any relative frequency.

Meiner Ansicht nach zeigen aber meine Beispiele genau das: Im einen Beispiel weiss man, wie viele Kugeln in der Urne sind (frequentistisch), im anderen versucht man, dies herauszufinden, indem man Kugeln zieht (bayesianisch). Das englische Beispiel vom Leben auf dem Mars ist insofern unglücklich, als überhaupt nicht gezeigt wird, wie man auf die Wahrscheinlichkeit von 1/2 kommt. Ich werde den Eindruck nicht ganz los, dass hier versucht wird, die Bayesianer als unseriös hinzustellen, indem man halbfertige und viel zu komplizierte Beispiele verwendet. Wenn man frequentistische und bayesianische Wahrscheinlichkeit vergleichen will, so sollte man Beispiele verwenden, die etwa die selbe Komplexität haben. Philipp W.

Ich sehe nicht, wie Frequentisten und Bayesianer beim Urnen/Kugel-Beispiel zu unterschiedlichen Ergebnissen kommen koennten: Wenn keine Zusatzinfos vorliegen wuerden beide relative Haeufigkeiten bestimmen und daraus Schaetzwerte fuer die W-keit ableiten. In den Beispielen waeren das sogar exakt dieselben Wahrscheinlichkeiten. Was soll der Leser daraus ueber den Unterschied der beiden Interpretationen von W-keit lernen? (Matthias)

Die Bayesianer machen etwas völlig anderes als die Frequentisten. Die Frequentisten haben eine Urne, von der sie genau wissen welche Kugeln drin sind. Die Bayesianer haben auch eine Urne, von der sie aber nicht wissen, welche Sorte Kugeln drin sind. Dann stellen sie sich eine ganze Reihe weiterer Urnen vor, die fiktiv alle nur denkbaren Kombinationen von Kugeln enthalten. Mit Hilfe dieser fiktiven Urnen schliessen sie aus den gezogenen Kugeln, welche Urne am ehesten tatsächlich vorliegt. Wenn es die fiktiven Urnen tatsächlich gäbe, wäre überhaupt nichts Dramatisches daran und wir hätten den gleichen Fall wie die Frequentisten. Weil aber die Urnen nicht wirklich existieren, sondern nur fiktiv sind, werden viele Mathematiker nervös und sagen, das sei 'nicht ganz seriös' oder 'nur intuitiv'. Ich habe (von Mathematikprofessoren!) Argumente gelesen wie: "Es gibt ja nur eine Urne, also kann man auch keine Wahrscheinlichkeit definieren." Die Bayesianer sind der Ansicht, man könne sehr wohl.

Wenn das Beispiel komplizierter gemacht wird (z. B. Leben auf dem Mars) dann wird es sehr schwer, alle möglichen Welten mit den richtigen Gewichten aufzuschreiben. So scheint es, dass die Bayesianer tatsächlich ziemlich windig argumentieren. In Wirklichkeit ist dies aber nicht ein Problem, das für die Bayesianer spezifisch ist. Wenn nämlich die Frequentisten in diesem Beispiel alle marsähnlichen Planeten im Universum zählen und schauen würden, welcher Anteil Lebewesen trägt, käme auch ein ziemlich windiges Resultat raus. Philipp W.

1.) Die Beschreibung oben ist schonmal wesentlich aussagekraeftiger als die Urnen-Beispiele allein.

2.) Beim Mars wuerde sich ein ordentlicher Frequentist weigern, eine W-keit zuzuorden. Das Argument waere: Es gibt keine sinnvollen Experimente oder Wiederholungen.

3.) Das Argument von diesem Prof. ist ein hardcore-Argument, das jede induktive Statistik killt ("es gibt ja nur eine Welt"). In Wirklichkeit machen aber auch Frequentisten induktive Statistik. Die ganzen Hypothesentests basieren auf frequentistischen Ansaetzen (man stellt sich alle moeglichen Samples einer gegebenen Dichte vor oder alle moeglichen Permutationen eines Datensatzes und bestimmt dann relative Haeufigkeiten). Wobei die Groessen, mit denen da gerechnet wird, nicht Wahrscheinlichkeiten, sondern "p-Werte" genannt werden.

4.) Das Bayes-Urnen-Beispiel wuerde ich (grob) frequentistisch so angehen:

1 Urne, 2 Farben, 100 Kugel, 100x gezogen mit zuruecklegen, 90 schwarz, 10 weiss.

a) Stelle Dir alle moeglichen Urnenbelegungen vor (=> alle moeglichen Samples einer gegebenen Dichte).

b) Bestimme fuer jede Belegung die Wahrscheinlichkeit (relative Haeufigkeit), dass 90/10 gezogen wird (=> "konventionelle W-theorie").

c) Gib als wahrscheinlichste Belegung diejenige an, fuer die diese W-keit maximal wird. Gib als Konfidenzintervalle die Belegungen an, fuer die diese W-keit eine vorgebene Schranke ueberschreitet.

d) Schreib' bei der Loesung "p-value" statt W-keit.

Ich vermute, ein Frequentist waere mit solchem Vorgehen einverstanden, und ein Bayesianer wuerde sich das als MAP-Schaetzung gefallen lassen (allerdings darauf hinweisen, dass man eigentlich etwas komplizierteres machen sollte). (Matthias)

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Bayes'sche Wahrscheinlichkeitstheorie geht unmittelbar intuitiv vor:-> WAS das inuitiv sein soll erschließt sich mir nicht.--'~'

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Ich hab' den Artikel nach "Bayesscher Wahrscheinlichkeitsbegriff" verschoben, um deutlich zu machen, dass es nicht um eine spezielle Wahrscheinlichkeitstheorie geht, sondern um eine Interpretation des Begriffs Wahrscheinlichkeit. Alternativen wären "Bayes Wahrscheinlichkeit" (nach dem engl. en:Bayesian Probability) gewesen, das fand ich aber etwas unscharf. "Subjektive Wahrscheinlichkeit" wäre noch eine Alternative gewesen. Bei Lesern ohne Vorwissen könnte subj. W-keit allerdings Assoziationen zu Beliebigkeit/Unwissenschaftlichkeit erwecken. Interessant wäre übrigens ein Artikel Bayes Inferenz analog zum (kurzen) englischen Artikel en:Bayesian inference. Das wäre dann der Link zu den KI-Anwendungen (Spamfilter etc.). MH 13:00, 27. Dez 2003 (CET)

Wissenschaftliche Methode

Im Artikel stand: In seinem Buch Probability Theory: The Logic of Science argumentiert Jaynes, dass die wissenschaftliche Methode eine Form der Bayesschen Wahrscheinlichkeitsinferenz ist. Gleichwohl gibt es immer wieder Einwände gegen eine solche Sichtweise, da Urteile gemäß der Bayesschen Wahrscheinlichkeit dazu führen können, dass vorherrschende Sichtweisen bestätigt und kontroverse Ergebnisse unterdrückt werden. Ich halte das schon sprachlich (Bayessche Wahrscheinlichkeitsinferenz? - gemeint ist wohl Bayessches Schließen) für unglücklich. Hier wird ein Kritikpunkt angesprochen, nämlich dass auch Evidenz auf Grund von Meinungen bewertet wird, die sich schon vorher ausgebildet haben. Aber das Thema heißt Induktion und ist allgemein ein Streitpunkt in der Wissenschaftstheorie. Ich würde es hier raushalten, da Jaynes nur ein Autor von vielen ist. -- ZZ (Diskussion) 18:02, 12. Aug. 2013 (CEST)