Verbund (Topologie)

In der Mathematik ist der Verbund (engl.: join) topologischer Räume eine auf John Milnor zurückgehende Konstruktion aus der Topologie.

Konstruktion

Der Verbund zweier Intervalle (blau und grün) ist ein 3-dimensionales Polytop (grau).

Verbund zweier topologischer Räume

Es seien $X_{1}$ und $X_{2}$ zwei topologische Räume. Ihr Verbund $X=X_{1}*X_{2}$ wird wie folgt definiert. Die Elemente von $X$ sind die Paare

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (t_1x_1,t_2x_2)} mit $x_{1}\in X_{1},x_{2}\in X_{2},t_{1},t_{2}\in \left[0,1\right],t_{1}+t_{2}=1$,

wobei $t_{i}x_{i}$ eine abkürzende Bezeichnung für das Paar $(t_{i},x_{i})$ ist und für alle $x_{1},x_{1}^{\prime }\in X_{1}$ und alle $x_{2},x_{2}^{\prime }\in X_{2}$

$(0x_{1},1x_{2})=(0x_{1}^{\prime },1x_{2})$ und $(1x_{1},0x_{2})=(1x_{1},0x_{2}^{\prime })$

gesetzt wird. (Anschaulich werden also alle Punkte aus $X_{1}$ mit allen Punkten aus $X_{2}$ durch Strecken der Länge $1$ verbunden.)

Die Topologie auf $X$ ist per definitionem die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Koordinatenabbildungen

$t_{i}\colon X\to \left[0,1\right]$

$(t_{1}x_{1},t_{2}x_{2})\to t_{i}\quad (i=1,2)$

und

$x_{i}\colon \left\{(t_{1}x_{1},t_{2}x_{2})\colon t_{i}\not =0\right\}\to X_{i}$

$(t_{1}x_{1},t_{2}x_{2})\to x_{i}\quad (i=1,2)$

stetig sind.

Beispiele

• Der Verbund eines Raumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} mit einem Punkt ist der Kegel $CX$ über $X$.
• Der Verbund eines Raumes $X$ mit dem 2-elementigen Raum $S^{0}$ ist die Einhängung $SX$ von $X$.
• Der Verbund zweier Sphären $S^{k}$ und $S^{l}$ ist die $(k+l+1)$-dimensionale Sphäre $S^{k+l+1}$.
• Der Verbund von $k$ Kreisen $S^{1}*\ldots *S^{1}$ ist die $(2k-1)$-dimensionale Sphäre $S^{2k-1}$.
• Für das kartesische Produkt $X_{1}\times X_{2}$ zweier CAT(0)-Räume $X_{1},X_{2}$ und deren geodätische Ränder gilt $\partial _{\infty }(X_{1}\times X_{2})=\partial _{\infty }X_{1}*\partial _{\infty }X_{2}$.

Sphärischer Verbund

Auf dem Verbund zweier metrischer Räume $(X_{1},d_{1})$ und $(X_{2},d_{2})$ kann man eine Metrik wie folgt definieren: Der Abstand $d((t_{1}x_{1},t_{2}x_{2}),(s_{1}y_{1},s_{2}y_{2}))$ ist diejenige Zahl im Intervall $\left[0,\pi \right]$, für die

$\cos(d((t_{1}x_{1},t_{2}x_{2}),(s_{1}y_{1},s_{2}y_{2})))={\sqrt {t_{1}s_{1}}}\cos(min\left\{\pi ,d_{1}(x_{1},y_{1})\right\})+{\sqrt {t_{2}s_{2}}}\cos(min\left\{\pi ,d_{2}(x_{2},y_{2})\right\})$

gilt. Man beachte, dass die Einschränkungen dieser Metrik auf $X_{1}$ und $X_{2}$ nicht die ursprünglichen Metriken $d_{i}(x,y)$, sondern $min\left\{\pi ,d_{i}(x,y)\right\}$ geben.

Der metrische Raum $(X_{1}*X_{2},d)$ heißt sphärischer Verbund der metrischen Räume $(X_{1},d_{1})$ und $(X_{2},d_{2})$.

Verbund unendlich vieler topologischer Räume

Es sei $\left\{X_{j}\colon j\in J\right\}$ eine Familie topologischer Räume. Die Elemente des Verbundes $X=*_{j\in J}X_{j}$ sind die $J$-Tupel

$(t_{j}x_{j}\colon j\in J)$ mit $t_{j}\in \left[0,1\right],x_{j}\in X_{j},\sum _{j\in J}t_{j}=1,$ fast alle $t_{j}=0$.

Zwei Tupel $(t_{j}x_{j})$ und $(u_{j}y_{j})$ definieren genau dann dasselbe Element, wenn gilt:

• Für alle $j\in J$ ist $t_{j}=u_{j}$.
• Für alle $j\in J$ gilt: $t_{j}\not =0\Longrightarrow x_{j}=y_{j}$.

Die Topologie auf $X$ ist die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Koordinatenabbildungen

$t_{j}\colon X\to \left[0,1\right]$

$(t_{i}x_{i})\to t_{j}\quad (j\in J)$

und

$x_{j}\colon \left\{(t_{i}x_{i})\colon t_{j}\not =0\right\}\to X_{j}$

$(t_{i}x_{i})\to x_{j}\quad (j\in J)$

stetig sind.

Beispiele

• Für eine topologische Gruppe $G$ ist der abzählbar unendliche Verbund $G*G*\ldots *G*\ldots$ der sogenannte Milnor-Raum, er ist der klassifizierende Raum für $G$-Prinzipalbündel.

Literatur

• Tammo tom Dieck: Topologie. de Gruyter Lehrbuch. Walter de Gruyter & Co., Berlin 1991, ISBN 3-11-013187-0; 3-11-012463-7
• Martin R. Bridson; André Haefliger: Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer, Berlin 1999, ISBN 3-540-64324-9