Prädiktionsmatrix

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In der Statistik ist die Prädiktionsmatrix (englisch prediction matrix) eine symmetrische und idempotente Matrix und damit eine Projektionsmatrix. Die Prädiktionsmatrix wird gelegentlich Hut-Matrix oder Dach-Matrix genannt, da sie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat y} abbildet. Dementsprechend wird sie entweder mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{P}} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{H}} notiert. Der Begriff „Prädiktionsmatrix“ bzw. „Vorhersagematrix“ wurde von Hoaglin & Welsh (1978)[1] sowie Chatterjee & Hadi (1986)[2] geprägt und rührt daher, dass wenn man die Matrix auf die -Werte anwendet sie die vorhergesagten Werte (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat y} -Werte) generiert.[2] Eine weitere in der Statistik wichtige Matrix ist die Residualmatrix, die durch die Prädiktionsmatrix definiert wird und ebenfalls eine Projektionsmatrix ist.

Definition

Gegeben ein typisches multiples lineares Regressionsmodell Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf y = \mathbf X \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol \varepsilon} , mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol\beta} dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p \times 1} Vektor der unbekannten Regressionsparameter, der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \times p} Versuchsplanmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{X}} , dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \times 1} Vektor der abhängigen Variablen und dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \times 1} Vektor der Störgrößen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol \varepsilon} . Dann ist die Prädiktionsmatrix definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf P \equiv \mathbf{X} \left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}\quad} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \quad\mathbf P \in \mathbb{R}^{n \times n}} .

Die Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{X}^{+}=\left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}} wird auch Moore-Penrose-Inverse von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{X}} genannt.

Die mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate geschätzte Regressions(hyper)ebene ist dann gegeben durch die Stichproben-Regressionsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\mathbf{y}} = \widehat{\operatorname{E}(\mathbf{y})}=\mathbf{X}\hat{\boldsymbol \beta }} , wobei der Kleinste-Quadrate-Schätzvektor ist. Die Prädiktionsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{P}} ist die Matrix der Orthogonalprojektion auf den Spaltenraum von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf X} und hat maximal den Rang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=k+1} ist die Anzahl der Parameter des Regressionsmodells). Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{X}} eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (n \times p)} Matrix mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Rang}(\mathbf{X})=p} ist, dann ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \operatorname {Rang} (\mathbf {P} )=p} . Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{P}} eine Projektionsmatrix ist, gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Rang}(\mathbf{P})=\operatorname{Spur}(\mathbf{P})=p} . Die Idempotenz- und die Symmetrieeigenschaft (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{P}\cdot \mathbf{P} = \mathbf{P}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{P}^{\top} = \mathbf{P}} ) implizieren, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{P}} ein orthogonaler Projektor auf den Spaltenraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(\mathbf{X})=S(\mathbf{P})} ist.[3] Die Projektionsrichtung ergibt sich aus der Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbf{I}-\mathbf{P})} , deren Spalten senkrecht auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(\mathbf{X})} stehen. Die Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{P}} wird Prädiktionsmatrix genannt, da sich die Vorhersagewerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\mathbf{y}}} durch die linksseitige Multiplikation des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{y}} mit dieser Matrix ergeben. Dies kann durch Einsetzen des KQ-Parameterschätzers wie folgt gezeigt werden:[4]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\mathbf{y}} = \mathbf{X}\hat{\boldsymbol \beta }=\underbrace{\mathbf{X}\left( \mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}}_{=\mathbf{P}} \mathbf{y}=\mathbf{P} \mathbf{y}} .

Die Vorhersagewerte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} (die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat y} -Werte) können also als eine Funktion der beobachteten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Werte verstanden werden. Zahlreiche statistische Resultate lassen sich auch mit der Prädiktionsmatrix darstellen. Beispielsweise lässt sich der Residualvektor mittels der Prädiktionsmatrix darstellen als: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\boldsymbol \varepsilon}= \mathbf {y}-\hat{\mathbf {y}} = \mathbf y - \mathbf {X}\hat{\boldsymbol \beta}= ( \mathbf{I} - \mathbf{X} \left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top})\mathbf y= (\mathbf I - \mathbf P) \mathbf y } .[5] Die (nichttriviale) Kovarianzmatrix des Residualvektors lautet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Cov}(\hat{\boldsymbol\varepsilon})= \sigma^2(\mathbf I - \mathbf P)} und spielt für die Analyse von Hebelwerten eine Rolle.

Eigenschaften

Idempotenz

Die Prädiktionsmatrix ist idempotent. Dies kann so interpretiert werden, dass „zweimaliges Anwenden der Regression zum gleichen Ergebnis führt“. Die Idempotenzeigenschaft der Prädiktionsmatrix kann wie folgt gezeigt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{P}^2=\mathbf{P}\cdot \mathbf{P} = \mathbf{X} \left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}=\mathbf{X} \left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1}\mathbf{I}\mathbf{X}^{\top}= \mathbf{X} \left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}=\mathbf{P}} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{I}} die Einheitsmatrix ist.

Symmetrie

Die Prädiktionsmatrix ist symmetrisch. Die Symmetrieeigenschaft der Prädiktionsmatrix kann wie folgt gezeigt werden

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{P}^{\top}=\left(\mathbf{X} \left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top}\right)^{\top}=\left(\left(\mathbf{X} \left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \right)\left(\mathbf{X}^{\top}\right)\right)^{\top}=\ \left(\mathbf{X}^{\top}\right)^{\top}\left(\mathbf{X} \left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \right)^{\top}=\ \mathbf{X}\left( \left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \right)^{\top}\mathbf{X}^{\top}=\ \mathbf{X} \left(\mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1} \mathbf{X}^{\top} = \mathbf{P}}

Hebelwerte

Die Diagonalelemente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{ii}} der Prädiktionsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf P} können als Hebelwerte interpretiert werden und spielen in der Regressionsdiagnostik eine große Rolle. Sie sind gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{ii}=\mathbf{x}_i^{\top} \left( \mathbf{X}^{\top} \mathbf{X} \right)^{-1}\mathbf{x}_i} .

Diese Hebelwerte werden bei der Berechnung des Cook-Abstands verwendet und können genutzt werden, um einflussreiche Beobachtungen zu identifizieren. Es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{n} \leq p_{ii} \leq \frac{1}{r}} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} die Anzahl der Zeilen in der Versuchsplanmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{X}} darstellt, die unterschiedlich sind. Wenn alle Zeilen unterschiedlich sind, dann gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{n} \leq p_{ii} \leq 1} .[6]

Einzelnachweise

  1. ↑ David C. Hoaglin & Roy E. Welsch: The Hat Matrix in Regression and ANOVA. In: The American Statistician, 32(1), 1978, S. 17–22, doi:10.1080/00031305.1978.10479237, JSTOR 2683469.
  2. ↑ a b Samprit Chatterjee & Ali S. Hadi: Influential observations, high leverage points, and outliers in linear regression. In: Statistical Science, 1(3), 1986, S. 379–393, doi:10.1214/ss/1177013622, JSTOR 2245477.
  3. ↑ Wilhelm Caspary: Fehlertolerante Auswertung von Messdaten, S. 124
  4. ↑ Rainer Schlittgen: Regressionsanalysen mit R., ISBN 978-3-486-73967-1, S. 27 (abgerufen über De Gruyter Online).
  5. ↑ Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 122.
  6. ↑ Ludwig Fahrmeir, Thomas Kneib, Stefan Lang, Brian Marx: Regression: models, methods and applications. Springer Science & Business Media, 2013, ISBN 978-3-642-34332-2, S. 108.
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