Projektive Gerade

In der Mathematik, insbesondere der projektiven Geometrie ist die projektive Gerade ein eindimensionaler projektiver Raum.

Definition

Es sei $K$ ein Körper, zum Beispiel der Körper der reellen oder komplexen Zahlen oder ein endlicher Körper. Es sei $V=K^{2}$ der (bis auf Isomorphie eindeutige) zweidimensionale $K$ -Vektorraum. Die projektive Gerade $P^{1}K$ ist die Menge der eindimensionalen Untervektorräume von $V$ .

Mit anderen Worten: die projektive Gerade ist der Quotientenraum

P^{1}K=(K^{2}\setminus \left\{0\right\})/\sim

bezüglich der Äquivalenzrelation

(x_{1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})\Longleftrightarrow \exists \lambda \in K\setminus \{0\}:x_{1}=\lambda x_{2},y_{1}=\lambda y_{2}

.

Diese Äquivalenzrelation identifiziert zwei Punkte genau dann, wenn sie im selben eindimensionalen Untervektorraum, also auf derselben Gerade durch den Nullpunkt liegen.

Homogene Koordinaten

Jeder Punkt der projektiven Gerade kann in homogenen Koordinaten als

\left[x:y\right]

mit $x,y\in K,(x,y)\not =(0,0)$ dargestellt werden, wobei $\left[x:y\right]=\left[\lambda x:\lambda y\right]$ für alle $\lambda \in K\setminus \{0\}$ gilt.

Zahlengerade erweitert um den Punkt im Unendlichen

Auf der riemannschen Zahlenkugel sind die komplexen Zahlen einschließlich ∞ darstellbar.

Die projektive Gerade $P^{1}K$ kann mit $K\cup \left\{\infty \right\}$ , der um einen "Punkt im Unendlichen" erweiterten Gerade $K^{1}$ identifiziert werden. Man kann nämlich die Gerade $K=K^{1}$ mit der in homogenen Koordinaten durch

\left\{[x:1]\in \mathbf {P} ^{1}(K)\mid x\in K\right\}

gegebenen Teilmenge der $P^{1}K$ identifizieren. Diese Teilmenge enthält dann alle Punkte der $P^{1}K$ bis auf einen, den sogenannten "Punkt im Unendlichen":

\infty =[1:0].

Beispiele

Die reelle projektive Gerade $P^{1}\mathbb {R}$ ist homöomorph zum Kreis $S^{1}$ .
Die komplexe projektive Gerade $P^{1}\mathbb {C}$ wird als Riemannsche Zahlenkugel bezeichnet, sie ist homöomorph zur 2-Sphäre $S^{2}$ .
Die projektive Gerade $P^{1}F_{q}$ über dem endlichen Körper $F_{q}$ hat $q+1$ Elemente.

Automorphismen

Möbiustransformation auf

P^{1}\mathbb {C} =\mathbb {C} \cup \left\{\infty \right\}

Die allgemeine lineare Gruppe $GL(2,K)$ wirkt auf $K^{2}$ durch lineare Abbildungen. Die projektive lineare Gruppe $\mathrm {PGL} (2,K)$ ist die Faktorgruppe $\mathrm {GL} (2,K)/K^{\times }$ , wobei $K^{\times }$ die normale (sogar zentrale) Untergruppe der skalaren Vielfachen $k\cdot \mathrm {id} _{K^{2}}$ der Identität $\mathrm {id} :K^{2}\rightarrow K^{2}$ ist mit $k$ aus $K\setminus \{0\}$ . Die Wirkung von $GL(2,K)$ auf $K^{2}$ induziert eine wohldefinierte Wirkung von $PGL(2,K)$ auf $P^{1}K$ . Die Automorphismen von $P^{1}K$ sind per Definition die durch Elemente von $PGL(2,K)$ beschriebenen Abbildungen $P^{1}K\to P^{1}K$ .

In homogenen Koordinaten wirken die Matrizen als gebrochen-lineare Transformationen:

\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)z={\frac {az+b}{cz+d}}

nach der Identifizierung $\left[x_{0}:x_{1}\right]\simeq z:={\frac {x_{0}}{x_{1}}}\in K\cup \left\{\infty \right\}$ .

Die Automorphismengruppe wirkt transitiv auf Tripeln paarweise unterschiedlicher Punkte.

Eine fundamentale Invariante der projektiven Geometrie ist das Doppelverhältnis von 4-Tupeln paarweise unterschiedlicher Punkte. Falls K algebraisch abgeschlossen ist, lassen sich zwei solche 4-Tupel genau dann durch einen Automorphismus ineinander überführen, wenn ihr Doppelverhältnis übereinstimmt.

Im Fall $K=\mathbb {C}$ bezeichnet man die Automorphismen von $P^{1}\mathbb {C}$ als Möbiustransformationen.