Newmark-beta-Verfahren

Newmark-beta-Verfahren sind Methoden zur impliziten numerischen Integration von Differentialgleichungen. Die Verfahren gehören zu den Einschrittverfahren, da zur Berechnung der Werte zur Zeit $t_{n+1}$ nur die Werte des vorangegangenen Zeitschritts zur Zeit $t_{n}$ benötigt werden. Dabei werden zwei Parameter $\gamma$ und $\beta$ eingeführt, mit denen die Stabilität und die Genauigkeit des Verfahrens gesteuert werden. Die Verfahrensklasse ist in der numerischen Analyse der Dynamik von Festkörpern wie in der Finite-Elemente-Methode weit verbreitet. Benannt ist sie nach Nathan M. Newmark, der sie 1959 für die Anwendung in der Strukturdynamik entwickelte.

Herleitung

Annahme linearer oder konstanter Beschleunigung

Im Zeitintervall $[t_{0,}t_{e}]$, in dem eine Lösung $x(t)$ einer Differentialgleichung zweiter Ordnung in der Zeit gesucht wird, sei eine streng monoton steigende Folge von Zeitpunkten $\{t_{0},t_{1},\dotsc ,t_{e}\}$ vorgegeben, zu denen die Lösung $x(t)$ berechnet werden soll. Der Wert der Variable $x_{n}$, ihre Rate ${\dot {x}}_{n}$ und Beschleunigung ${\ddot {x}}_{n}$ seien zur Zeit $t_{n}$ bekannt. Die Beschleunigung wird im Intervall $t\in [t_{n},t_{n+1}]$ linear interpoliert, siehe Bild:

(I)     ${\ddot {x}}^{h}(t)={\frac {t_{n+1}-t}{t_{n+1}-t_{n}}}{\ddot {x}}_{n}+{\frac {t-t_{n}}{t_{n+1}-t_{n}}}{\ddot {x}}_{n+1}$

worin $x^{h}$ eine Näherungslösung der gesuchten Funktion $x$ bezeichnet. Integration über die Zeit liefert mit $\Delta t=t-t_{n}$:

(II)     ${\dot {x}}^{h}(t)={\dot {x}}_{n}+\int _{t_{n}}^{t}{\ddot {x}}^{h}(\tau )\mathrm {d} \tau ={\dot {x}}_{n}+\Delta t[(1-\gamma ){\ddot {x}}_{n}+\gamma {\ddot {x}}^{h}(t)]$

(III)     $x^{h}(t)=x_{n}+\int _{t_{n}}^{t}{\dot {x}}^{h}(\tau )\mathrm {d} \tau =x_{n}+\Delta t{\dot {x}}_{n}+\Delta t^{2}\left[\left({\frac {1}{2}}-\beta \right){\ddot {x}}_{n}+\beta {\ddot {x}}^{h}(t)\right]$

Mit

$\gamma ={\frac {1}{2}}$    und    $\beta ={\frac {1}{6}}$

sind diese Formeln für lineare Systeme exakt und liefern das lineare Beschleunigungsverfahren. Die von Newmark ursprünglich angegebenen Werte

$\gamma ={\frac {1}{2}}$    und    $\beta ={\frac {1}{4}}$

entsprechen dem #Konstante Durchschnittsbeschleunigungsverfahren mit

${\ddot {x}}^{h}(t)={\frac {1}{2}}({\ddot {x}}_{n}+{\ddot {x}}_{n+1})$.

Unter der Voraussetzung, dass die Extremwerte der Beschleunigung im Intervall $[t_{n},t_{n+1}]$ an den Grenzen des Intervalls auftreten, stellen die Integrale in Gleichungen (II) und (III) eine abgebrochene Taylorreihe mit Restglied dar, wobei mit $0<\gamma <1$ und $0<\beta <1$ andere Approximationen $x^{h}$ gefunden werden. So können auch andere Werte für die Konstanten $\gamma$ und $\beta$ motiviert werden.

Start der Berechnung

Der Newmark-Algorithmus startet zur Zeit $t=t_{0}$ mit $n=0$. Zumeist wird angenommen, dass für $t<t_{0}$ die Beschleunigungen verschwinden. Mit dieser Annahme ist der Algorithmus unter Vorgabe der Anfangswerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{0} } und Anfangsgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{x}_{0} } selbststartend, d. h. die Anfangsbeschleunigungen brauchen nicht in einem ersten Schritt berechnet zu werden.

Aktualisierung der Variablen

Mit dem Newmark-Algorithmus werden aus gegebenen Werten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_n,\dot{x}_n } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{x}_n } zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_n } die entsprechenden Werte zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_{n+1} } berechnet. Die im Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [t_n, t_{n+1}]} liegenden Werte können mit den Gleichungen (I) bis (III) interpoliert werden. Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=t_{n+1} } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{x}^{h}(t_{n+1})=\ddot{x}_{n+1} } bekommt man aus Gleichungen (II) und (III):

(IV)     Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{x}^{h}(t_{n+1}) =\dot{x}_{n+1}=\dot{x}_n+\Delta t[(1-\gamma )\ddot{x}_n+\gamma \ddot{x}_{n+1}] } ,

(V)     Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^{h}(t_{n+1})=x_{n+1} =x_n+\Delta t\dot{x}_n+\Delta t^2\left[\left(\frac{1}{2}-\beta \right)\ddot{x}_n+\beta \ddot{x}_{n+1}\right] } .

Die beiden Gleichungen (IV) und (V) enthalten drei Unbekannte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{n+1},\dot{x}_{n+1}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{x}_{n+1} } . Die dritte zum Abschluss benötigte Gleichung liefert die zu lösende Differentialgleichung.

Bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta \ne 0 } kann auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{n+1} } als primäre Unbekannte gewählt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{x}_{n+1} = \frac{1}{\beta\Delta t^2} (x_{n+1}-x_n) - \frac{1}{\beta\Delta t}\dot{x}_n -\frac{\frac{1}{2}-\beta}{\beta}\ddot{x}_n }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{x}_{n+1} = \frac{\gamma}{\beta\Delta t} (x_{n+1}-x_n) +\left(1-\frac{\gamma}{\beta}\right) \dot{x}_n +\Delta t\frac{\beta-\frac{1}{2}\gamma}{\beta}\ddot{x}_n } .

Sind einmal die Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{n+1},\dot{x}_{n+1}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{x}_{n+1} } berechnet, wird der Zähler Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} inkrementiert und die Berechnung fortgesetzt, bis das Ende des interessierenden Zeitintervalls erreicht ist.

Spezialfälle

Konstante Durchschnittsbeschleunigungsverfahren

Die ursprüngliche Form des Newmark-Verfahrens entspricht einer konstanten mittleren Beschleunigung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{x}^{h}(t)=\frac{1}{2}(\ddot{x}_{n+1}+\ddot{x}_n) }

mit der man in den obigen Formeln (IV) und (V)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma =\frac{1}{2} } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta =\frac{1}{4} }

bekommt.

Gleichung	Folgerung
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{x}^{h}(t) =\dot{x}_n+\int_{t_n}^t \ddot{x}^{h}(\tau )\mathrm{d}\tau =\dot{x}_n+\frac{\Delta t}2(\ddot{x}_n+\ddot{x}_{n+1}) }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma =\frac{1}{2} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_n+\int_{t_n}^t\dot{x}^{h}\mathrm{d}\tau =x_n+\int_{t_n}^t \left( \dot{x}_n+\frac{\tau -t_n}2(\ddot{x}_n+\ddot{x}_{n+1})\right)\mathrm{d}\tau =x_n+\Delta t\dot{x}_n+\frac{\Delta t^2}{4}(\ddot{x}_n+\ddot{x}_{n+1}) }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta =\frac{1}{4} }

Zentrale Differenzenquotienten

→ Hauptartikel: Differenzenquotient

Die zentralen Differenzenquotienten

(VI)    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{x}_n=\frac{1}{2\Delta t}(x_{n+1}-x_{n-1}) }

(VII)     Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{x}_n=\frac{1}{\Delta t^2}(x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}) }

entsprechen den obigen Formeln (IV) und (V) mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma =\frac{1}{2} } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta =0 } .

Gleichung	Folgerung
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \ddot{x}_n &=& \frac{1}{\Delta t^2}(x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}) \\[1ex] \rightarrow x_{n-1} &=& \Delta t^2\ddot{x}_n-x_{n+1}+2x_n \\[1ex] \dot{x}_n &=& \frac{1}{2\Delta t}(x_{n+1}-x_{n-1}) \\[1ex] \rightarrow \Delta t\dot{x}_n &=& \frac{1}{2}(x_{n+1}-x_{n-1}) =x_{n+1}-\frac{\Delta t^2}2\ddot{x}_n-x_n \\[1ex] \rightarrow x_{n+1} &=& x_n+\Delta t\dot{x}_n+\frac{\Delta t^2}2\ddot{x}_n \end{array} }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta =0 }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \frac{\Delta t}2\ddot{x}_n &=& \frac{1}{2\Delta t}(x_{n+1}-2x_n+x_{n-1}) \\[1ex] \frac{\Delta t}2\ddot{x}_{n+1}&=& \frac{1}{2\Delta t}(x_{n+2}-2x_{n+1}+x_n) \\[2ex] \dot{x}_n &=& \frac{1}{2\Delta t}(x_{n+1}-x_{n-1}) \\[1ex] \dot{x}_{n+1} &=& \frac{1}{2\Delta t}(x_{n+2}-x_n) \\[1ex] \rightarrow \frac{\Delta t}2(\ddot{x}_n+\ddot{x}_{n+1}) &=& \frac{1}{2\Delta t}(x_{n+2}-x_n-x_{n+1}+x_{n-1}) =\dot{x}_{n+1}-\dot{x}_n \\[1ex] \rightarrow \dot{x}_{n+1} &=& \dot{x}_n+\frac{\Delta t}2(\ddot{x}_n+\ddot{x}_{n+1}) \end{array} }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma =\frac{1}{2} }

Explizite Zeitintegration

→ Hauptartikel: Explizites Euler-Verfahren

Das explizite Zeitintegrationsverfahren gehört nicht zur Familie der (impliziten!) Newmark-beta Algorithmen und wird hier nur zu Vergleichszwecken angegeben. Die obigen Formeln (VI) und (VII) für die zentralen Differenzen sind äquivalent zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{x}_{n+1/2}=\frac{1}{\Delta t}(x_{n+1}-x_n) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{x}_n=\frac{1}{\Delta t}(\dot{x}_{n+1/2}-\dot{x}_{n-1/2}) } .

Hier fällt auf, dass die Geschwindigkeiten immer in der Mitte der Zeitintervalle berechnet werden. Mit der Annahme

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \dot{x}_{n+1} &\approx& \dot{x}_{n+1/2}=\dot{x}_{n-1/2}+\Delta t\ddot{x}_n \\ x_{n+1} &=& x_n+\Delta t\dot{x}_{n+1/2} =x_n+\Delta t(\dot{x}_{n-1/2}+\Delta t\ddot{x}_n) \end{array} }

können die Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{n+1} } und die Geschwindigkeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{x}_{n+1} } zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_{n+1} } auf bereits bekannte Ergebnisse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_n,\dot{x}_{n-1/2},\ddot{x}_n } zurückgeführt werden und die Differentialgleichung liefert die Bestimmungsgleichung für die nunmehr einzige Unbekannte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{x}_{n+1} } .

Beispiel

Zeitintegration mit Algorithmen der Newmark Familie

Eine Schwingung gehorche in Abwesenheit einer Erregung der homogenen Differentialgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{x}(t)+x(t)=0 } .

Mit den Anfangsbedingungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(t=0)=x_{0}=0 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{x}(t=0)=\dot{x}_{0}=1 }

hat die Differentialgleichung die analytische Lösung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(t) = \sin(t) }

zu der die Anfangsbeschleunigung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{x}(t=0)=-\sin (0)=0 }

gehört. Die Differentialgleichung liefert die Gleichung für die primäre Unbekannte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{x}_{n+1} }  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ddot{x}_{n+1}+x_{n+1}=0\rightarrow \ddot{x}_{n+1}=-x_{n+1} }

Die Zeitintegration mit dem Newmark-Verfahren ergibt die Gleichungen für die Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_{n+1} } und Raten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{x}_{n+1} } aus der Tabelle

Parameter	Aktualisierungsvorschrift
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma =\frac{1}{2},\;\beta =\frac{1}{6} }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} x_{n+1} &=& x_n+\Delta t\dot{x}_n + \frac{\Delta t^2}{6}(2\ddot{x}_n-x_{n+1}) \rightarrow x_{n+1} = \frac{6 x_n+6\Delta t\dot{x}_n+2\Delta t^2\ddot{x}_n}{6+\Delta t^2} \\[1ex] \dot{x}_{n+1} &=& \dot{x}_n+\frac{\Delta t}2(\ddot{x}_n-x_{n+1}) \end{array} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma =\frac{1}{2},\;\beta =\frac{1}{4} }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} x_{n+1} &=& x_n+\Delta t\dot{x}_n+\frac{\Delta t^2}{4}(\ddot{x}_n-x_{n+1}) \rightarrow x_{n+1} = \frac{4x_n+4\Delta t\dot{x}_n+\Delta t^2\ddot{x}_n}{4+\Delta t^2} \\[1ex] \dot{x}_{n+1} &=& \dot{x}_n+\frac{\Delta t}2(\ddot{x}_n-x_{n+1}) \end{array} }
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma =\frac{1}{2},\;\beta =0 }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} x_{n+1} &=& x_n+\Delta t\dot{x}_n+\frac{\Delta t^2}2\ddot{x}_n \\[1ex] \dot{x}_{n+1} &=& \dot{x}_n+\frac{\Delta t}2(\ddot{x}_n-x_{n+1}) \end{array} }
explizit	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \dot{x}_{n+1} &=& \dot{x}_{n+1/2}=\dot{x}_{n-1/2}+\Delta t\ddot{x}_n \\[1ex] x_{n+1} &=& x_n+\Delta t\dot{x}_{n-1/2}+\Delta t^2\ddot{x}_n \end{array} }

Die Lösungen im Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t \in [0,10\pi] } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta t=0,2 } haben den Verlauf im Bild. Die mittlere Abweichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e = \sqrt{\frac{\sum_{n=1}^{159}{(x_n-\sin (t_n))}^2}{159}} }

gibt die Tabelle:

Verfahren	Mittlere Abweichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e}
Lineares Beschleunigungsverfahren	0.021778594324355638
Zentrales Differenzenverfahren	0.022202937295615111
Konstante mittlere Beschleunigung	0.043283257071468406
Explizites Verfahren	0.022202937295615576

Literatur

• Robert Gasch, Klaus Knothe, Robert Liebich: Strukturdynamik, Springer Verlag 2012, ISBN 978-3-540-88977-9
• T. Belytschko, T.J.R. Hughes (Hrsg.): Computational methods for transient analysis. North-Holland 1986. ISBN 9780444864796