Parameterintegral

Als Parameterintegral wird in der Analysis ein Integral bezeichnet, dessen Integrand von einem Parameter abhängt. Ein wichtiges Beispiel ist die eulersche Darstellung der Gammafunktion. Der Wert eines solchen Integrals ist dann eine Funktion des Parameters und es stellt sich beispielsweise die Frage, ob diese Funktion stetig oder differenzierbar ist.

Definition des Parameterintegrals

Es seien $(X,d)$ ein metrischer Raum, $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, $(E,\Vert \cdot \Vert )$ ein Banachraum und $f\colon X\times \Omega \to E$. Für alle $x\in X$ sei $\omega \mapsto f(x,\omega )$ über $\Omega$ integrierbar bezüglich des Maßes $\mu$. Dann heißt $F\colon X\to E$

$F(x)=\int _{\Omega }f(x,\omega )\,\mu (\mathrm {d} \omega )$

Parameterintegral mit dem Parameter $x$.

Beispiel für Parameterintegrale

Die Gammafunktion

$\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t.$

Stetigkeit von Parameterintegralen

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum, $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, $(E,\Vert \cdot \Vert )$ ein Banachraum. Für eine Abbildung $f\colon X\times \Omega \to E$ gelte

• $f(x,\cdot )\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,E)$ für jedes $x\in X$,
• $f(\cdot ,\omega )\in C(X,E)$ (also stetig) für $\mu$-f.a. $\omega \in \Omega$,
• Es gibt ein $g\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,\mathbb {R} )$ mit $\Vert f(x,\omega )\Vert \leqslant g(\omega )$ für $(x,\omega )\in X\times \Omega$.

Dann ist

$F\colon X\to E,\ x\mapsto \int _{\Omega }f(x,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )$

wohldefiniert und stetig.

Differenzierbarkeit von Parameterintegralen

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{d}$ offen, $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, $(E,\Vert \cdot \Vert )$ ein Banachraum. Für eine Abbildung $f\colon U\times \Omega \to E$ gelte

• $f(u,\cdot )\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,E)$ für jedes $u\in U$,
• $f(\cdot ,\omega )\in C^{1}(U,E)$ (also stetig differenzierbar) für $\mu$-f.a. $\omega \in \Omega$,
• Es gibt ein $g\in {\mathcal {L}}_{1}(\Omega ,\mu ,\mathbb {R} )$ mit $\Vert \partial _{u}f(u,\omega )\Vert \leqslant g(\omega )$ für $(u,\omega )\in U\times \Omega$.

Dann ist

$F\colon U\to E,\ u\mapsto \int _{\Omega }f(u,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega )$

stetig differenzierbar mit

$\partial _{j}F(u)=\int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial u^{j}}}f(u,\omega )\mu (\mathrm {d} \omega ),\quad u\in U,\quad 1\leqslant j\leqslant d.$

Unter geeigneten Voraussetzungen können also Differentiation nach einem Parameter und Integration vertauscht werden.

Leibnizregel für Parameterintegrale

Folgender Spezialfall tritt manchmal auf: Sei

$F(t)=\int \limits _{a(t)}^{b(t)}f(t,x)\mathrm {d} x,$

wobei die Funktion $f:(\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R}$, $(t,x)\mapsto f(t,x)$, stetig mit stetiger partieller Ableitung nach der ersten Variablen, ${\tfrac {\partial }{\partial t}}f:(\alpha ,\beta )\times (c,d)\to \mathbb {R}$ ist und $a,b:(\alpha ,\beta )\to (c,d)$ stetig differenzierbar sind. Dann ist $F$ auf dem offenen Intervall $(\alpha ,\beta )$ stetig differenzierbar, mit

$F'(t)=f(t,b(t))b'(t)-f(t,a(t))a'(t)+\int \limits _{a(t)}^{b(t)}{\tfrac {\partial }{\partial t}}f(t,x)\mathrm {d} x.$

Herleitung

Zur Herleitung kann man die Funktion $G(t,u,v)=\int \limits _{u}^{v}f(t,x)\mathrm {d} x$ definieren und zeigen, dass sie auf $(\alpha ,\beta )\times (c,d)$ stetig differenzierbar ist: ${\tfrac {\partial }{\partial t}}G$ existiert wegen der Differenzierbarkeit des Parameterintegrals und ist stetig wegen der Stetigkeit des Parameterintegrals. Existenz und Stetigkeit von ${\tfrac {\partial }{\partial u}}G$ und ${\tfrac {\partial }{\partial v}}G$ folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Mit der Kettenregel ergibt sich dann

${\begin{aligned}F'(t)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}G(t,a(t),b(t))={\tfrac {\partial }{\partial t}}G(t,a(t),b(t))\cdot 1+{\tfrac {\partial }{\partial u}}G(t,a(t),b(t))a'(t)+{\tfrac {\partial }{\partial v}}G(t,a(t),b(t))b'(t)\\&=\int \limits _{a(t)}^{b(t)}{\tfrac {\partial }{\partial t}}f(t,x)\mathrm {d} x-f(t,a(t))a'(t)+f(t,b(t))b'(t).\end{aligned}}$

Literatur

• Harro Heuser: Analysis 2. 9. Auflage, Teubner, 1995, ISBN 3-51932-232-3, S. 101ff.
• René L. Schilling: Measures, Integrals and Martingales 3. Auflage, Cambridge University Press, 2011, ISBN 978-0-521-61525-9, S. 92ff.