Nachbarschaft (Graphentheorie)

In der Graphentheorie versteht man unter der Nachbarschaft eines Knotens die Menge aller Knoten des Graphen, die mit ihm durch eine Kante verbunden sind. Oft wird eine Adjazenzmatrix benutzt, um die Nachbarschaftsbeziehung zwischen den Knoten eines Graphen darzustellen.

Definition

Für ungerichtete Graphen

Sei $G=(V,E)$ ein ungerichteter Graph (welcher auch Schlingen enthalten kann). Dann heißen zwei Knoten $u,v\in V$ benachbart, verbunden oder adjazent in $G$, wenn sie durch eine ungerichtete Kante verbunden sind, das heißt, wenn $\{u,v\}\in E$ gilt. Sind zwei Knoten benachbart, so werden sie auch Nachbarn genannt.

$N_{G}(v)$ bezeichnet die Menge aller Nachbarn eines Knotens $v$ in $G$. Ferner bezeichnet man mit $N_{G}(X)$ die Menge aller Nachbarn der in $X\subseteq V$ enthaltenen Knoten. Diese Mengen werden auch die Nachbarschaft von $v$ bzw. $X$ genannt.

Ein Knoten ist genau dann sein eigener Nachbar, wenn er eine Schlinge besitzt. Die Nachbarschaft einer Menge von Knoten $N_{G}(X)$ kann Knoten aus der Menge $X$ selbst enthalten. Die Vereinigung der Nachbarschaft mit den Knoten aus $X$ heißt abgeschlossene Nachbarschaft.

Ein Knoten $v$ und eine Kante $e$ heißen inzident, wenn $e$ den Knoten $v$ mit einem anderen Knoten verbindet ($v\in e$). Zwei ungerichtete Kanten heißen benachbart, wenn sie nicht disjunkt sind, d. h., wenn sie einen gemeinsamen Knoten besitzen.

Diese Begriffe gelten analog für Hypergraphen und -kanten. Falls klar ist, um welchen Graphen es sich handelt, lässt man den Index $G$ bei der Notation oftmals weg.

Für gerichtete Graphen

Ein Knoten $x$ heißt Vorgänger von $y$ in einem gerichteten Graphen $G$, wenn $(x,y)$ gerichtete Kante von $G$ ist. Mit $N_{G}^{-}(v)$ bezeichnet man die Menge aller Vorgänger eines Knotens $v$ in $G$ . Ferner bezeichnet man mit $N_{G}^{-}(X)$ die Menge aller Vorgänger der Knoten von $X$ in $G$. $N_{G}^{-}(v)$ bzw. $N_{G}^{-}(X)$ nennt man auch Vorgängermenge oder Eingangsmenge von $v$ bzw. $X$.

Analog heißt $y$ Nachfolger von $x$ in $G$, wenn $(x,y)$ gerichtete Kante von $G$ ist. Mit $N_{G}^{+}(v)$ bezeichnet man die Menge aller Nachfolger eines Knotens $v$ in $G$. Ferner bezeichnet man mit $N_{G}^{+}(X)$ die Menge aller Nachfolger der Knoten von $X$ in $G$. $N_{G}^{+}(v)$ beziehungsweise $N_{G}^{+}(X)$ nennt man auch Nachfolgermenge oder Ausgangsmenge von $v$ bzw. $G$.

Bei gerichteten Graphen unterscheidet man weiter zwischen positiv inzidenten Kanten und negativ inzidenten Kanten. Eine gerichtete Kante ist positiv inzident zu ihrem Startknoten und negativ inzident zu ihrem Endknoten.