Benutzer:Aknot/Spielwiese

H-unendlich-Regelung

Die H_∞-Regelung ist ein Verfahren zur Systemanalyse und Reglersynthese aus dem Bereich der robusten Regelungstechnik. Zur Anwendung des Verfahrens muss die Regelungsaufgabe als Optimierungsproblem formuliert werden, was einen relativ hohen mathematischen Aufwand erfordert. Die Vorteile des Verfahrens liegen in der breiten Anwendbarkeit im Bereich von SISO- und MIMO-LTI-Systemen, der Erweiterbarkeit auf nichtlineare Probleme und, bei gutem Design, sehr robust performanten Regelungsergebnissen bei Gewährleistung der Stabilität.

Beim modellbasierten Reglerentwurf fließen stets Unsicherheiten, welche durch die Modellerstellung entstehen in die Regelung ein. Eine Regelung kann dann als robust bezeichnet werden, wenn sie unempfindlich gegenüber diesen Modellungenauigkeiten ist, die Regelgüte also nicht stark beeinträchtigt oder gar die Stabilität gefährdet wird. Die Grundlage des H_∞-Entwurfs ist die Modellierung der bekannten Modellunsicherheiten, was zu einer erweiterten Übertragungsfunktion führt, die dann Grundlage zur numerischen Berechnung des H_∞-Reglers ist. Die Bezeichnung "H_∞" rührt aus der mathematischen Theorie, welche dem Verfahren zu Grunde liegt und bezeichnet die Vektornorm eines Hardy-Funktionenraum.

Die H_∞- Norm

SISO-Supremum

Die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal H_\infty} -Norm ist eine Vektornorm für den Hardyraum ${\mathcal {H}}^{p}$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p \to \infty} . Im mathematischen Kontext stellen Hardyräume Spezialfälle der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal L^p} -Banachräume dar, in welchen holomorphe Funktionen auf ihre Integrierbarkeit untersucht werden können. Der Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\mathcal {H}}_{\infty }} -Raum beinhaltet entsprechend alle holomorphen Funktionen (jeder Funktionswert ist in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex} komplex differenzierbar), die in der oberen rechten Hälfte der komplexen Ebene (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Re(s)>0} ) beschränkt sind. Eine mathematische Norm, welche einem Raum zugeordnet ist, charakterisiert die "Größe" eines Objekts dieses Raums, also z.B. die Länge bzw. der Betrag eines Vektors.

Im Falle der in der Systemtechnik interessierenden Übetragungsfunktionen beschreibt die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal H_\infty} -Norm den Maximalwert des Amplitudengangs einer untersuchten Übertragungsfunktion. Im SISO-Fall bedeutet dies einfach:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|G(s)\|_\infty=\underset{\omega}{sup}\left| G(j\omega) \right|}

Die allgemeine Berechnungsvorschrift des Supremums lautet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underset{\omega}{sup}\left| G(j\omega) \right|= \lim_{p \to \infty}\left(\int_{-\infty}^\infty \left| G(j\omega) \right|^p\,d\omega \right)^{1/p}}

Im MIMO-Fall wird hingegen der maximale Singulärwert der Übertragungsmatrix ermittelt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|\underline G(s)\|_\infty=\underset{\omega}{sup}\ \overline \sigma(\left| \underline G(j\omega) \right|)}

Modellierung der Unsicherheiten

Die Modellierung der Unsicherheiten, die bei der Modellerstellung vorliegen ist die Basis für den späteren Reglerentwurf. Es ist wichtig hier sorgfältig vorzugehen, denn eine Optimierung in eine falsche Richtung kann mehr Schaden anrichten, als dass eine robuste Regelung synthetisiert wird. Modellunsicherheiten lassen sich unterscheiden in parametrische und dynamische Unsicherheiten:

Parametrische Unsicherheiten

Parametrische Unsicherheiten sind dem Namen nach bei der Modellidentifikation schwankende oder allgemein variante Parameter. Dargestellt wird eine solche Unsicherheit durch einen nominellen Wert des unsicheren Parameters $p$ zuzüglich eines Unsicherheitsterms:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=p_{nom} \cdot (1+\eta_p \delta_p)}     mit  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\delta_p| \leqq 1\qquad}     und  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_p,\eta_p,p,p_{nom} \in \R}

Dabei sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \eta_p} eine dimensionslose relative Schwankung, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{nom}} ein nomineller Wert des Parameters (gewöhnlich in der Mitte des Schwankungsbreichs) und $\delta _{p}$ die Unsicherheitsvariable. Ausmultipliziert kann $\eta _{p}\cdot p_{nom}$ mit der Parameterunsicherheit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_p} ersetzt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=p_{nom}+W_p \delta_p}

Dynamische Unsicherheiten

Datei:Dynamische Unsicherheiten.png

Additive und multiplikative dynamische Unsicherheit

Dynamische Unsicherheiten entstehen durch bei der Modellidentifikation nicht berücksichtigte oder bei einer Modellordnungsreduktion verloren gegangene Dynamiken. Dynamische Unsicherheiten sind frequenzabhängig und können auf verschiedene Arten vorliegen. In der Abbildung rechts ist ein System mit einer additiven und einer multiplikativen Unsicherheit mit der jeweiligen Unsicherheitsgewicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} und der Unsicherheitsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta} dargestellt.

Je nach Art der dynamischen Unsicherheit wird das unsichere System bzw. die unsichere Systemmatrix bzgl. dem nominellen System folgendermaßen gebildet (jeweils mit $\|{\underline {\Delta }}_{G}\|_{\infty }\leqq 1$):

• Multiplikative Unsicherheit am Eingang:   ${\underline {G}}={\underline {G}}_{nom}\cdot ({\underline {I}}+{\underline {\Delta }}_{G}{\underline {W}}_{G})$

• Multiplikative Unsicherheit am Ausgang:   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline G = (\underline I + \underline \Delta_G \underline W_G) \cdot \underline G_{nom}}

• Multiplikative Unsicherheit invers am Eingang:   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline G = \underline G_{nom}\cdot (\underline I - \underline \Delta_G \underline W_G)^{-1}}

• Multiplikative Unsicherheit invers am Ausgang:   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline G = (\underline I + \underline \Delta_G \underline W_G)^{-1} \cdot \underline G_{nom}}

Additive können in multiplikative Unsicherheiten transformiert werden.

Linear Fraction Representation

[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]:

Komplettes System in LFR-Darstellung

Nach der Defintion der Unsicherheiten und vor der Anwendung der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal H_\infty} -Algorithmen zur Reglersynthese muss zunächst das Systemmodell zusammen mit den Unsicherheiten in die LFR überführt werden. Bei der LFR werden den Zustandsgleichungen virtuelle Ein- und Ausgänge hinzugefügt, um die unbekannten Unsicherheitswerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_i} zu eliminieren bzw. von den bekannten Werten zu trennen. Am Ende steht das folgende LFR-System mit der Reglermatrix ${\underline {K}}$ (untere LFR) und der Unsicherheitsmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline \Delta} (obere LFR), siehe rechte Abbildung. Dabei sind:

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w,z} hinzugefügte virtuelle Ein- und Ausgänge
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d,e} äußere Störung, gewichteter virtueller Fehler
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u,y} Stell- und Rückführvektor
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} Reglermatrix

Beispiel

Die Dämpfung eines Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PT_2} -Gliedes sei unsicher:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^2 \ddot x+2dT \dot x +x=Ku}    mit   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d=d_{nom} \cdot (1+\eta_d\delta_d)}

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\ddot {x}}={\frac {Ku}{T^{2}}}-{\frac {2d_{nom}}{T}}{\dot {x}}-{\frac {d_{nom}\eta _{d}}{T}}\underbrace {{\dot {x}}\delta _{d}} _{{\mathrel {\widehat {=}}}w_{d}}-{\frac {x}{T}}}

Zur Eliminierung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_d} wurde der virtuelle Eingang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle w_d} hinzugefügt. Dazu passend wird der Ausgang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_d=\dot x \rightarrow w_d=z_d\delta_d} hinzugefügt, wodurch die Rückführung geschlossen werden kann und trotz Eliminierung kein Informationsverlust entsteht.

Aus dem unsicheren System

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\begin{matrix}\dot x \\ \ddot x \\ \hline y \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ \frac{-1}{T} & \frac{-2d}{T} \\ \hline 1 & 0 \end{matrix}\right. \left|\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \hline 1 \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix}x \\ \dot x \\ \hline u \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} \underline A \\ \hline \underline c \end{matrix}\right. \left|\begin{matrix} \underline b \\ \hline d \end{matrix} \right) \left(\begin{matrix}\underline x \\ \hline u \end{matrix}\right)}

wird das erweiterte System Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline P} (auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline G_{erweitert}} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline G_{augmented}} ):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\begin{matrix}\dot x \\ \ddot x \\ \hline z_d \\ y \end{matrix}\right)= \underbrace{\left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ \frac{-1}{T} & \frac{-2d_{nom}}{T} \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right. \left|\begin{matrix} 0 & 0\\ \frac{-d_{nom}\eta_d}{T} & 0 \\ \hline 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right)}_{\underline P} \left(\begin{matrix}x \\ \dot x \\ \hline w_d \\ u \end{matrix}\right)}

Bei dynamischen Unsicherheiten ist das Verfahren analog. Bei mehreren Unsicherheiten entsteht eine Diagonalmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline \Delta} mit den Unsicherheitswerten (skalar und/oder frequenzabhängig) auf der Diagonalen. Die unbekannten Unsicherheitswerte sind nun in upper-LFR-Struktur von der Strecke getrennt, siehe obere Abbildung. Können Sie nicht beziffert werden, so müssen sie beim Reglerentwurf vernachlässigt werden, was zumeist der Fall ist.

H_∞- Reglersynthese

Datei:LFR Lower.png

Erweitertes System und Regler in Lower-LFR

In lower-LFR-Darstellung stellt sich die erweiterte Strecke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline P} mit der Reglermatrix ${\underline {K}}$ wie in der rechten Abbildung dar. Das Ziel des Entwurfs ist die Minimierung der Energieübertragung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e} bzw. die Erreichung eines Suboptimums indem ein Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} unterschritten wird. Mit anderen Worten bedeutet das, dass äußere Einflüsse möglichst geringe Auswirkungen auf das System haben. Das Minimierungsproblem in der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal H_\infty} -Norm ausgedrückt lautet also nun:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|\underline F_l(\underline P, \underline K)\|_\infty < \gamma}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline F_l} ist die Übertragungsmatrix von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} auf $e$ und wird auch als Kostenfunktion bezeichnet.

Mit der gegebenen erweiterten Systemmatrix

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline P=\left(\begin{matrix} \underline A \\ \hline \underline C_1 \\ \underline C_2 \end{matrix}\right.\left|\begin{matrix} \underline B_1 & \underline B_2 \\ \hline 0 & \underline D_{12} \\ \underline D_{21} & 0\end{matrix}\right)}

kann nun das Problem über verschiedene numerische Ansätze gelöst werden, wenn die folgenden Voraussetzungen erfüllt sind:

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline A, \underline B_1} ist stabilisierbar, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline C_1, \underline A} ist beobachtbar
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline A, \underline B_2} ist stabilisierbar, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline C_2, \underline A} ist beobachtbar
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline D_{12}^T\left(\begin{matrix} \underline C_1 & \underline D_{12} \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} 0 & \underline I \end{matrix}\right)}
• $\left({\begin{matrix}{\underline {B}}_{1}\\{\underline {D}}_{21}\end{matrix}}\right){\underline {D}}_{21}^{T}=\left({\begin{matrix}0\\{\underline {I}}\end{matrix}}\right)$

Die zwei gebräuchlichsten Möglichkeiten zur Lösung des Optimierungsproblems sind zum einen das LMI-Verfahren (Lineare Matrix Ungleichung) und zum anderen die Lösung von zwei algebraischen Matrix-Riccati-Gleichungen. Der Ablauf von letzterem soll kurz gezeigt werden, die Lösung ist nur numerisch möglich. Die Auslegung kann iterativ wiederholt werden, um ein möglichst kleines Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} zu erreichen. Der entstehende Regler besitzt dieselbe Anzahl an Zuständen wie das erweiterte System Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline P} .

Zur Lösung der zwei Ricatti-Gleichungen muss gelten (alle Großbuchstaben sind Matrizen):

1. Es existiert ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_\infty} , sodass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_\infty A+A^TX_\infty+X_\infty \left(\frac{1}{\gamma^2}B_1B_1^T-B_2B_2^T\right)X_\infty+C_1^TC_1 \overset{!}{=}0}
2. Es existiert ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_\infty} , sodass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AY_\infty + Y_\infty A^T+Y_\infty \left(\frac{1}{\gamma^2}C_1C_1^T-C_2C_2^T\right)Y_\infty+B_1^TB_1 \overset{!}{=}0}
3. Der größte Eigenwert des gefundenen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_\infty} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_\infty} ist kleiner als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma^2} : Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho \left(X_\infty Y_\infty \right)<\gamma^2}

Mit den gefundenen Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_\infty} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_\infty} synthetisiert sich die Reglermatrix schlussendlich zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \underline K=\left(\begin{matrix}\underline A_\infty \\ \hline \underline F_\infty \end{matrix}\right.\left|\begin{matrix} - \underline Z_\infty \underline L_\infty \\ \hline 0 \end{matrix}\right)} .

Dabei sind:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_\infty=A+\frac{1}{\gamma^2}B_1B_1^TX_\infty+B_1F_\infty+Z_\infty C_2} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_\infty=-B_2^TX_\infty} ,

$L_{\infty }=-Y_{\infty }C_{2}^{T}$,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z_\infty=\left(I-\frac{1}{\gamma^2}X_\infty Y_\infty \right)-1}

Siehe auch

• Robuste Regelung
• Loop Shaping
• Möbiustransformation

Literatur

• Skogestad, Sigurd; Postlethwaite, Ian (2005), Multivariable Feedback Control: Analysis and Design, Wiley, ISBN 0-470-01167-X
• Kwakernaak, Huibert (1992), Robust Control and H_∞-Optimization-Tutorial, Pergamon Press
• Glover, Keith; Doyle, John (1988), State-space formulae for all stabilizing controllers that satisfy an H_∞-norm bound and relations to risk sensitivity, System & Control Letters 11