Benutzer:Alfred Heiligenbrunner/Entwurf 1

Liste von Verteilungsdichten der Summe gleichverteilter Zufallsvariabler

Die folgende Liste zeigt die Verteilungsdichten von Zufallsvariablen, die entstehen, wenn man bis zu sechs Zufallsvariable summiert, die gleichverteilt im Intervall [0, 1] sind.

Die Bilder zeigen, wie schnell sich die Gesamtverteilung von einer Rechtecks- in eine Glockenkurve ändert, selbst wenn man nur wenige Zufallsvariable summiert. Die Verteilung nähert sich immer mehr einer Normalverteilung. Dies besagt der zentrale Grenzwertsatz.

Tabelle der Verteilungsdichten

Verteilungsdichte	Bild
$f_{1}(x)={\begin{cases}0&x<0\\1&0\leq x\leq 1\\0&x>1\end{cases}}$	[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]: Datei fehlt
$f_{2}(x)={\begin{cases}0&x<0\\x&0\leq x\leq 1\\2-x&1\leq x\leq 2\\0&x>2\end{cases}}$	[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]: Datei fehlt
$f_{3}(x)={\begin{cases}0&x<0\\{\frac {x^{2}}{2}}&0\leq x\leq 1\\-x^{2}+3x-{\frac {3}{2}}&1\leq x\leq 2\\{\frac {(3-x)^{2}}{2}}&2\leq x\leq 3\\0&x>3\end{cases}}$	[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]: Datei fehlt
$f_{4}(x)={\begin{cases}0&x<0\\{\frac {x^{3}}{6}}&0\leq x\leq 1\\-{\frac {x^{3}}{2}}+2x^{2}-2x+{\frac {2}{3}}&1\leq x\leq 2\\{\frac {x^{3}}{2}}-4x^{2}+10x-{\frac {22}{3}}&2\leq x\leq 3\\{\frac {(4-x)^{3}}{6}}&3\leq x\leq 4\\0&x>4\end{cases}}$	[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]: Datei fehlt
$f_{5}(x)={\begin{cases}0&x<0\\{\frac {x^{4}}{24}}&0\leq x\leq 1\\{\frac {-5+20x-30x^{2}+20x^{3}-4x^{4}}{24}}&1\leq x\leq 2\\{\frac {155-300x+210x^{2}-60x^{3}+6x^{4}}{24}}&2\leq x\leq 3\\{\frac {-655+780x-330x^{2}+60x^{3}-4x^{4}}{24}}&3\leq x\leq 4\\{\frac {(5-x)^{4}}{24}}&4\leq x\leq 5\\0&x>5\end{cases}}$	[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]: Datei fehlt
$f_{6}(x)={\begin{cases}0&x<0\\{\frac {x^{5}}{120}}&0\leq x\leq 1\\{\frac {6-30x+60x^{2}-60x^{3}+30x^{4}-5x^{5}}{120}}&1\leq x\leq 2\\{\frac {-237+585x-570x^{2}+270x^{3}-60x^{4}+5x^{5}}{60}}&2\leq x\leq 3\\{\frac {2193-3465x+2130x^{2}-630x^{3}+90x^{4}-5x^{5}}{60}}&3\leq x\leq 4\\{\frac {-10974+12270x-5340x^{2}+1140x^{3}-120x^{4}+5x^{5}}{120}}&4\leq x\leq 5\\{\frac {(6-x)^{5}}{120}}&5\leq x\leq 6\\0&x>6\end{cases}}$	[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]: Datei fehlt

Zusammenschau

Datei:Summe-von-Gleichverteilungen3.svg

Verteilungsdichten der Summe von bis zu sechs Gleichverteilungen

Herleitung

Die Verteilungsfunktion der Standardgleichverteilung ist

$F_{1}(x)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}x\leq 0\\x,&{\text{wenn }}x\in \,]0,\,1]\\1,&{\text{wenn }}x>1{\text{.}}\\\end{cases}}$

Es sei

$F_{k}(x)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}x\leq 0\\F_{k,\,1}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]0,\,1]\\\cdots \\F_{k,\,j}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]j-1,\,j]\\\cdots \\F_{k,\,k}(x),&{\text{wenn }}x\in \,]k-1,\,k]\\1,&{\text{wenn }}x>k\\\end{cases}}$

die Verteilungsfunktion der Summe von k standardgleichverteilten Zufallsvariablen.

Es bezeichnet also $F_{k,\,j}(x)$ die Verteilungsfunktion der Summe von k standardgleichverteilten Zufallsvariablen im halboffenen Intervall $]j-1,\,j]$.

 

Im folgenden bezeichne $Z_{k}\,$ eine Zufallsvariable, die gemäß $F_{k}\,$ verteilt ist.

 

Für $x\in \,]j-1,j]$ ist

${\begin{aligned}F_{k+1,\,j}(x)&=P(\{Z_{k+1}<x\})\\&=P(\{Z_{k}+Z_{1}<x\})\\&=\int _{-\infty }^{\infty }P(\{Z_{k}<x-z_{1}\})\cdot P(\{Z_{1}\in \,[z_{1},z_{1}+dz_{1}[\})\\&=\int _{0}^{1}P(\{Z_{k}<x-z_{1}\})\cdot 1\,dz_{1}\\&=\int _{0}^{1}F_{k}(x-z_{1})\,dz_{1}&&{\text{Substitution: }}y=x-z_{1}\\&=\int _{x-1}^{x}F_{k}(y)\,dy\\&=\int _{x-1}^{j-1}F_{k,\,j-1}(y)\,dy+\int _{j-1}^{x}F_{k,\,j}(y)\,dy.\end{aligned}}$

Das heißt, der j-te Zweig der Verteilungsfunktion $F_{k+1}\,$ ergibt sich aus den Integralen von zwei Zweigen von $F_{k}\,$.

Beispielsweise ergibt sich

$F_{2}(x)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}x\leq 0\\{\frac {x^{2}}{2}},&{\text{wenn }}x\in \,]0,\,1]\\{\frac {-x^{2}+4x-2}{2}},&{\text{wenn }}x\in \,]1,\,2]\\1,&{\text{wenn }}x>2{\text{.}}\\\end{cases}}$

 

Die oben in Formeln und Bildern dargestellten Verteilungsdichten $f_{k}\,$ sind die Ableitungen davon.

Siehe auch

• Zentraler Grenzwertsatz
• Faltung

Kategorie:Stochastik