Benutzer:D.wiehler/Abelsche elliptische Funktionen

In der Mathematik sind die abelschen elliptische Funktionen eine bestimmte Art von elliptischen Funktionen, die auf den Mathematiker Niels Henrik Abel zurückgehen. 1827 veröffentlichte er seine Abhandlung "Recherches sur les Fonctions elliptiques" im "Journal für die reine und angewandte Mathematik". Diese stellt die erste veröffentlichte Arbeit über die Theorie der elliptischen Funktionen dar. Abels Arbeiten über die elliptischen Funktionen beeinflussten maßgeblich auch Jacobis Arbeiten über elliptische Funktionen, dessen 1829 veröffentlichtes Buch "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum" für die nächten Jahre zum Standardwerk über elliptische Funktionen wurde.

Geschichte

Abels Ausgangspunkt waren die elliptischen Integrale, die schon von Adrien-Marie Legendre genau untersucht worden waren. Bereits 1823 als er noch Student war, beschäftigte er sich mit ellitpischen Integralen. Inbesondere betrachtete er die Funktionen als komplexe Funktionen, was zu dieser Zeit noch sehr neu war. In den folgenden Jahren führte Abel seine Untersuchungen dieser Funktionen fort. Er versuchte auch, sie zu Funktionen mit noch mehr Perioden zu verallgemeinern, veröffentlichte seine Ergebnisse allerdings nicht.

Anfangs des Jahres 1827 jedoch publizierte er seine erste längere Arbeit über elliptische Funktionen Recherches sur les fonctions elliptiques. Am Ende dieses Jahres wurde Abel aufmerksam auf Carl Gustav Jacobi und dessen Arbeit über Transformationen von ellitpischen Integralen. Abel vollendete darauf einen zweiten Teil seines Artikels über elliptische Funktionen und zeigte, wie die Resultate von Jacobi daraus auf einfache Weise folgen. Als Abel dann feststellte, wie Jacobi in seiner nächsten Veröffentlichung elliptische Funktionen verwendete, ohne auf ihn zu verweisen, begann eine Auseinandersetzung darüber, wer diese Ideen zuerst hatte. Abel stellte noch einige weitere Artikel zu verwandten Themen fertig, starb aber weniger als ein Jahr später im April 1829. In der Zwischenzeit vollendete Jacobi seine große Arbeit Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum über ellitpische Funktionen, welche er 1829 in Form eines Buches veröffentlichte.

Herleitung aus den elliptischen Integralen

Man betrachte das elliptisches Integral I. Art in folgender symmetrischer Form:

$\alpha (x):=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}$ mit $c,e\in \mathbb {R}$.

Die Funktion $\alpha$ ist ungerade und auf dem Intervall $[-{\frac {1}{c}},{\frac {1}{c}}]$ monoton wachsend mit dem Maximum

${\frac {\omega }{2}}:=\int _{0}^{\frac {1}{c}}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}$.

Das heißt, dort ist die Funktion umkehrbar: Es exisitert eine Funktion $\varphi$ mit $x=\varphi (\alpha (x))$, die auf dem Intervall $[-{\frac {\omega }{2}},{\frac {\omega }{2}}]$ wohldefiniert ist.

Wie die Funktion $\alpha$ hängt auch $\varphi$ von den Parametern $c$ und $e$ ab, was durch die Schreibweise $\varphi (u;c,e)$ zum Ausdruck gebracht werden kann.

Da $\alpha$ eine ungerade Funtkion in $x$ ist, ist auch $\varphi$ ungerade, das heißt, es gilt $\varphi (-u)=-\varphi (u)$.

Aus der Umkehrregel erhält man die Ableitung von $\varphi$:

$\varphi '(u)={\sqrt {(1-c^{2}\varphi ^{2}(u))(1+e^{2}\varphi ^{2}(u))}}$

$\varphi '$ ist eine gerade Funktion, d.h., $\varphi (-u)=\varphi (u)$.

Weiter definierte Abel die Funktionen

$f(u):={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(u)}}$ und $F(u):={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(u)}}$.

Damit gilt: $\varphi '(u)=f(u)F(u)$.

$\varphi$, $f$ und $F$ sind als die abelschen elliptischen Funktionen bekannt. Sie können fortgesetzt werden mithilfe der Additionstheoreme aus dem letzten Abschnitt.

Zum Beispiel erhält man durch die Addition von $\pm {\frac {\omega }{2}}$:

$\varphi {\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}=\pm {1 \over c}{f(u) \over F(u)},\quad$$f{\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}=\mp {\sqrt {c^{2}+e^{2}}}{\varphi (u) \over F(u)},\;\;F{\big (}u\pm {\omega \over 2}{\big )}={{\sqrt {c^{2}+e^{2}}} \over c}{1 \over F(u)}$.

Fortsetzung auf die komplexe Ebene

Zunächst kann $\varphi$ durch die Substitution $t\rightarrow it$ auf rein imaginäre Zahlen fortgesetzt werden. Damit gilt $xi=\varphi (\beta i)$, wobei

$\beta (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1+c^{2}t^{2})(1-e^{2}t^{2})}}}$.

$\beta$ ist auf dem Intervall $[-{\frac {1}{e}},{\frac {1}{e}}]$ monoton wachsend mit dem Maximum

${\frac {\tilde {\omega }}{2}}:=\int _{0}^{\frac {1}{e}}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1+c^{2}t^{2})(1-e^{2}t^{2})}}}$.

Somit sind $\varphi$, $f$ und $F$ entlang der reellen und imaginären Achse bekannt. Mit den Additionstheoreme können die Funktionen auf die gesamte komplexe Ebene fortgesetzt werden.

Zum Beispiel erhält man für $\alpha \in [-{\frac {\omega }{2}},{\frac {\omega }{2}}]$ folgendens:

$\varphi (\alpha +{\frac {\tilde {\omega }}{2}}i)={\frac {\varphi (\alpha )f({\frac {\tilde {\omega }}{2}}i)F({\frac {\tilde {\omega }}{2}}i)+\varphi ({\frac {\tilde {\omega }}{2}}i)f(\alpha )F(\alpha )}{1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )\varphi ^{2}({\frac {\tilde {\omega }}{2}}i)}}={\frac {{\frac {i}{e}}f(\alpha )F(\alpha )}{1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(\alpha ){\frac {i^{2}}{e^{2}}}}}={\frac {i}{e}}{\frac {f(\alpha )F(\alpha )}{1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}={\frac {i}{e}}{\frac {f(\alpha )F(\alpha )}{f^{2}(\alpha )}}={\frac {i}{e}}{\frac {F(\alpha )}{f(\alpha )}}$.

Doppelte Periodizität und Polstellen

Die Periodizität von $\varphi$, $f$ und $F$ lässt sich durch mehrmaliges Anwenden der Additionstheoreme folgern. Alle drei sind Funktionen sind doppeltperiodisch. Das bedeutet, sie haben zwei $\mathbb {R}$-linear unabhängige Perioden in der komplexen Ebene:

$\varphi (\alpha +2\omega )=\varphi (\alpha )=\varphi (\alpha +2{\tilde {\omega }}i)=\varphi (\alpha +\omega +{\tilde {\omega }}i)$

$f(\alpha +2\omega )=f(\alpha )=f(\alpha +{\tilde {\omega }}i)$

$F(\alpha +\omega )=F(\alpha )=F(\alpha +2{\tilde {\omega }}i)$.

Die Pole der Funktionen $\varphi (\alpha )$,$f(\alpha )$ und $F(\alpha )$ liegen bei

$\alpha =(m+{\frac {1}{2}})\omega +(n+{\frac {1}{2}}){\tilde {\omega i}},\quad$für $m,n\in \mathbb {Z}$.

Zusammenhang mit den jacobischen elliptischen Funktionen

Die abelschen elliptischen Funktionen können als jacobische elliptische Funktionen ausgedrückt werden, welche nicht von den Parametern $c$ und $e$ abhängen sondern von einem Modulus $k$:

$\varphi (u;c,e)={\frac {1}{c}}\operatorname {sn} (cu,k)$

$f(u;c,e)=\operatorname {cn} (cu,k)$

$F(u;c,e)=\operatorname {dn} (cu,k)$,

wobei $k={\frac {ie}{c}}$.

Additionstheoreme

Für die Funktionen $\varphi$, $f$ und $F$ gelten folgende Additionstheoreme:

$\varphi (\alpha +\beta )={\frac {\varphi (\alpha )f(\beta )F(\beta )+\varphi (\beta )f(\alpha )F(\alpha )}{R}}$

$f(\alpha +\beta )={\frac {f(\alpha )f(\beta )-c^{2}\varphi (\alpha )\varphi (\beta )F(\alpha )F(\beta )}{R}}$

$F(\alpha +\beta )={\frac {F(\alpha )F(\beta )+e^{2}\varphi (\alpha )\varphi (\beta )f(\alpha )f(\beta )}{R}}$,

wobei $R=1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )\varphi ^{2}(\beta )$.

Diese folgen aus den Additionstheoremen für elliptische Integrale, die bereits Euler bewiesen hatte.

Literatur

• Niels Henrik Abel, Recherhes sur le fonctions elliptiques, first and second part in Sophus Lie and Ludwig Sylow (eds.) Collected Works, Oslo (1881).
• Christian Houzel, The Work of Niels Henrik Abel, in O.A. Laudal and R. Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel – The Abel Bicentennial, Oslo 2002, Springer Verlag, Berlin (2004). Vorlage:ISBN.