Benutzer:D.wiehler/Zusammenhang mit elliptischen Integralen

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Zusammenhang mit elliptischen Integralen

Der Zusammenhang elliptischer Funktionen mit elliptischen Integralen ist hauptsächlich von historischer Natur. Elliptische Integrale wurden unter anderem bereits von Legendré studiert, dessen Arbeit sowohl von Abel als auch von Jacobi zunächst unabhängig voneinander fortgeführt wurde. Dies führte auch zu einem kleinen Konkurenzkampf zwischen den beiden[1].

Abel stieß auf die elliptischen Funktionen, indem er die Umkehrfunktion des elliptischen Integrals

betrachtete, also .[2]

Bei seinen Untersuchungen dieser Funktion definierte er außerdem noch die Funktionen

und

.[3]

Diese drei Funktionen stellten sich dann nach Fortsetzen auf die komplexe Ebene als doppeltperiodische Funktionen heraus und werden abelsche elliptische Funktionen genannt.

Auch die Jacobische elliptische Funktionen entstanden durch die Umkehrung elliptischer Integrale.

Jacobi betrachtete die Integralfunktion

und invertierte sie: . Hierbei steht für sinus amplitudinis und bezeichnet die neue Funktion.[4] Erst durch diesen Schritt konnte Jacobi 1827 seine allgemeine Transformationsformel elliptischer Integrale beweisen.[5]

Einzelnachweise

  1. ↑ Gray, Jeremy,: Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 83.
  2. ↑ Gray, Jeremy,: Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 74.
  3. ↑ Gray, Jeremy,: Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 75.
  4. ↑ Gray, Jeremy,: Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 82.
  5. ↑ Gray, Jeremy,: Real and the complex : a history of analysis in the 19th century. Cham, ISBN 978-3-319-23715-2, S. 81.
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