Benutzer:ElNuevoEinstein/tobeedited

Das folgende Beispiel definiert den Metrischen Tensor der Ebene und zeigt, wie hiermit Abstände in der Ebene berechnet werden können. Etwas kompliziertere Verhältnisse hat man beim Metrischen Tensor der Speziellen Relativitätstheorie.

Die Raumzeit der Speziellen Relativitätstheorie und die Ebene werden auch als flach bezeichnet.

Im Prinzip kann man in Ebenen und flachen Räumen auf die Verwendung von Differentialen zur Abstandsberechnung verzichten, sie dienen hier nur zur Motivation der analogen Beschreibung in krummlinigen Strukturen.

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Gegeben seien zwei Punkte $P_{0}$ und $P_{1}$ in der Ebene mit

$P_{0}=(x_{0}|y_{0})$

und

$P_{1}=(x_{1}|y_{1})$.

Das Quadrat des Abstandes zwischen den Punkten ist definiert als $d^{2}=(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}$

Definition: $dx_{0}:=(x_{1}-x_{0}),dx_{1}:=(y_{1}-y_{0})$

Für d werde im folgenden der Term ds verwendet. Dann erhält man folgende Gleichung für das Quadrat des Abstandes:

$ds^{2}=(dx_{0})^{2}+(dx_{1})^{2}$ (1)

Der Metrische Tensor der Ebene wird nun folgendermaßen definiert:

$(g_{ik})={\begin{pmatrix}g_{00}&g_{01}\\g_{10}&g_{11}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$

Mit den vorgenommenen Definition lässt sich $ds^{2}$ folgendermaßen schreiben: $ds^{2}=g_{ik}dx_{i}*dx_{k}$;

dabei wird über alle vorkommenden Werte der Indizes i,k summiert:

$ds^{2}=g_{0,0}dx_{0}dx_{0}+g_{0,1}d_{0}dx_{1}+g_{1,0}dx_{1}dx_{0}+g_{1,1}dx_{1}dx_{1}=1*dx_{0}dx_{0}+0*dx_{0}dx_{1}+0*dx_{1}dx_{0}+1*dx_{1}dx_{1}=dx_{0}dx_{0}+dx_{1}dx_{1}$,

was, wie leicht ersichtlich, mit dem in (1) gefundenen Ausdruck identisch ist.