Benutzer:JonskiC/Frisch-Waugh-Lovell Theorem

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In der Ökonometrie ist das Frisch-Waugh-Lovell Theorem ein Theorem, dass nach den Ökonometrikern Ragnar Frisch, Frederick V. Waugh, und Michael C. Lovell benannt wurde

The Frisch–Waugh–Lovell theorem states that if the regression we are concerned with is:

$Y=X_{1}\beta _{1}+X_{2}\beta _{2}+u\!$

where $X_{1}$ and $X_{2}$ are $n\times k_{1}$ and $n\times k_{2}$ matrices respectively and where $\beta _{1}$ and $\beta _{2}$ are conformable, then the estimate of $\beta _{2}$ will be the same as the estimate of it from a modified regression of the form:

$M_{X_{1}}Y=M_{X_{1}}X_{2}\beta _{2}+M_{X_{1}}u\!,$

where $M_{X_{1}}$ projects onto the orthogonal complement of the image of the projection matrix $X_{1}(X_{1}^{\mathsf {T}}X_{1})^{-1}X_{1}^{\mathsf {T}}$. Equivalently, M_X1 projects onto the orthogonal complement of the column space of X₁. Specifically,

$M_{X_{1}}=I-X_{1}(X_{1}^{\mathsf {T}}X_{1})^{-1}X_{1}^{\mathsf {T}}.\!$

known as the annihilator matrix, or orthogonal projection matrix. This result implies that all these secondary regressions are unnecessary: using projection matrices to make the explanatory variables orthogonal to each other will lead to the same results as running the regression with all non-orthogonal explanators included.

References

• Douglas W. Mitchell: Invariance of results under a common orthogonalization. In: Journal of Economics and Business. 43, Nr. 2, 1991, S. 193–196. doi:10.1016/0148-6195(91)90018-R.
• Russell Davidson, James G. MacKinnon: Estimation and Inference in Econometrics. Oxford University Press, New York 1993, ISBN 0-19-506011-3, S. 19–24.
• John Stachurski: A Primer in Econometric Theory. MIT Press, 2016, S. 311–314.

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