Benutzer:Kajdron/Klaua-Mengenlehre

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Die Klaua-Mengenlehre ist eine axiomatische Mengenlehre, die Dieter Klaua entworfen hat. Sie verbindet Eigenschaften der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre und der Typentheorie von Bertrand Russell.

Idee

In der Typentheorie enthalten Mengen jeweils Objekte des vorherigen Typs. Im Axiomensystem von Klaua wird diese Idee variiert, indem eine Menge Objekte aller vorherigen (bzw. kleineren) Stufen enthalten kann. Dadurch kann die Stufenbildung über eine unendlich aufsteigende Stufung transfinit fortgesetzt werden.

Für die verschiedenen Stufen werden nicht verschiedene Typen von Variablen verwendet, sondern sie werden durch die Beziehung stufenkleinergleich ausgedrückt. Die verschiedenen Stufen werden also nicht dem Axiomen vorrausgesetzt sondern ergeben sich aus diesen als Mengen gleichstufiger Objekte.

Definitionen

Es gibt zwei primitive Prädikate $a\in b$ (Element von) und $a\leq _{*}b$ (stufenkleinergleich).

Außerdem werden definiert:

$a=_{*}b$	$:\Leftrightarrow a\leq _{*}b\wedge b\leq _{*}a$ (stufengleich)
$a<_{*}b$	$:\Leftrightarrow a\leq _{*}b\wedge a\neq _{*}b$ (stufenkleiner)
$a\ Urelemente$	$:\Leftrightarrow \exists X\colon (a<_{*}X\wedge \neg \exists x\colon x\in X)$
Urelemente sind Objekte die stufenkleiner als die Leere Menge sind.
$a\ Menge$	$:\Leftrightarrow \neg a\ Urelement$
Mengen sind Objekte die keine Urelemente sind.
$A\ Grenzbereich$	$:\Leftrightarrow \exists y\colon (x\in A)\wedge \forall x\colon \exists y\colon (x\in a\Rightarrow y\in A)$
Ein Grenzbereich ist eine nicht leere Menge, die keine Element höchster Stufe hat.
$M\ Mengensystem\$	$:\Leftrightarrow M\ Menge\wedge \forall X\colon (X\in M\Rightarrow XMenge)$
Ein Mengensystem ist eine Menge, deren Elemente alle Mengen sind.
$M\ disjunkt$	$:\Leftrightarrow M\ Menge\wedge \forall X,Y\colon (X\in M\wedge Y\in M\wedge X{\neq }Y\Rightarrow \neg \exists a\colon (a\in X\wedge a\in Y))$
Eine Menge ist disjunkt, wenn ihre Elemente keine gemeinsamen Elemente haben.
$A\ Auswahl\ von\ G$	$:\Leftrightarrow \forall x\colon (x\in A\Rightarrow \exists B\colon (x\in B\wedge B\in G))\wedge \forall X\colon (X\in M\Rightarrow \exists !x\colon (x\in A\wedge x\in X))$
Eine Auswahl einer Mengen G ist eine Mengen die mit jedem Element von G genau ein Element gemeinsam hat.
$U\ Universum\$	$:\Leftrightarrow \forall f(fFunktion\wedge D(f)\in U\wedge W(f)\subset U\Rightarrow W(f)\in U)$
Ein Universum ist eine Allmenge, innerhalb der das Ersetzungsprinzip gilt.

Die Axiome

Elementare Axiome

Axiome I: Stufenaxiome

1. $\forall a,b,c\colon (a\leq _{*}b\wedge b\leq _{*}c\Rightarrow a\leq _{*}c)$
2. $\forall a,b\colon (a\leq _{*}b\vee b\leq _{*}a)$
3. $\forall A\colon (\exists x\colon \ x\in A\Rightarrow \exists x\colon (x\in A\wedge \forall y\colon (y\in A\Rightarrow x\leq _{*}y)))$
4. $\forall a,A\colon (a\in A\Rightarrow a<_{*}A)$
5. $\forall A,B\colon (\exists x\colon x<_{*}B\wedge \forall x\colon (x\in A\Rightarrow x<_{*}B)\Rightarrow A\leq _{*}B)$

Die Stufenaxiome präzisieren die Vorstellung von Stufen. Die erste beiden Axiome bewirken, dass die Objekte durch die Beziehung $\leq _{*}$ 'total quasigeordnet' sind, die Stufen also 'totalgeordnet' sind. Das dritte Axiom besagt, dass jede nicht leere Menge ein Element minimaler Stufe enthält. Das vierte Axiom legt fest, dass eine Menge stets von größerer Stufe ist als jedes ihrer Elemente, und das fünfte Axiom, dass dies die kleinste solche Stufe ist. Der Zusatz $\exists x\colon \ x<_{*}B$ erlaubt dabei, dass die leere Menge eine Stufe höher ist, als die Urelemente. Dies erklärt auch die Definition für Urelemente.

Axiom II: Extensionalitätsaxiom

$\forall A\colon \forall B\colon (A\ Menge\wedge B\ Menge\wedge \forall x\colon (x\in A\Leftrightarrow x\in B)\Rightarrow A=B$

Dies ist das Extensionalitätsaxiom beschränkt auf Mengen.

Axiome III: Mengenbildungsaxiome

$(\forall )\forall a\colon \exists A\colon (A\ Menge\wedge \forall x\colon (x\in A\Leftrightarrow x\leq _{*}a\wedge {\boldsymbol {H}}(x)))$

Dies ist ein Axiomenschema. ${\boldsymbol {H}}(x)$ ist dabei eine Ausdruck der $x$ als freie Varable enthält, $a$ nicht gebunden enthält und $A$ nicht enthält. Zu jedem solchen Ausdruck gibt es ein Axiom. $(\forall )$ steht für die Generalisierung über alle noch freien Variablen.

Axiom IV: Unendlichkeitsaxiom

$\exists a\colon \ a=a\wedge \forall a\colon \exists G\colon (G\ Grenzbereich\wedge a\in G)$

$\exists a\colon \ a=a$ besagt, dass es überhaupt ein Objekt gibt. Weiterhin garantiert dies Axiom, dass es eine unendliche Folge von Grenzbereichen über jedem Objekt gibt.

Axiom V: Auswahlaxiom

$\forall M\colon \exists A\colon (M\ Mengensysten\ \wedge \ M\ disjunkt\ \wedge \ \forall x\colon (x\in M\Rightarrow \exists y\colon (y\in x))\Rightarrow A\ Auswahl\ von\ G)$

Dies ist eine übliche Form des Auswahlaxioms.

Axiom VI: Universenaxiom

$\forall a\colon \exists U\colon (U\ Universum\wedge a\in U)$

Jedes Objekt ist Element eines Unviresums

Quellen

• D. Klaua: Elementare Axiome der Mengenlehre (Einführung in die allgemeinde Mengenlehre I) Akademie-Verlag Berlin 1971, ISBN 3-528-06801-6
• D. Klaua: Kardinal- und Ordinalzahlen. Teil 2 (Einführung in die allgemeine Mengenlehre III/2) Akademie-Verlat, Berlin 1974 ISBN 3-528-06141-3

Kategorie:Mengenlehre