Benutzer:PatrickC/Fundamentallemma der Variationsrechnung

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Das Fundamentallemma der Vatiationsrechnung ist ein Hilfssatz aus der Variationsrechnung, einem Teilgebiet der Mathematik.

typically used to transform a problem from its weak formulation (variational form) into its strong formulation (differential equation).

Aussage des Satzes

Für den Satz gibt es verschiedene Varianten, jedoch ist das Prinzip stets das gleiche: Gegeben seien eine Menge ${\mathcal {D}}$ von Testfunktionen (mit bestimmten Eigenschaften; mehr dazu siehe unten) und eine Funktion $f$, so dass für alle $g\in {\mathcal {D}}$

$\int _{\Omega }\,f(x)\,g(x)dx=0$

gilt (Dabei soll $\Omega$ die Definitionsmenge der Funktionen $f$ und $g$ sein). Dann folgt daraus, dass $f$ nur die Nullfunktion sein kann.

Varianten

Häufig wird der Satz in einer Variante formuliert, wo die Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen ist, $f$ eine lebesgueintegrierbare Funktion und ${\mathcal {D}}$ der Raum der schwartzschen Testfunktionen oder der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger.

Allgemeiner könnte ${\mathcal {D}}$ auch die Menge der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger sein und für $f$ würde es ausreichen, lokal lebesgueintegrierbar zu sein.

Im Wesentlichen sollte die Wahl der Funktionenräume zwei Eigenschaften erfüllen. Ist ${\mathcal {E}}$ der Funktionenraum, in dem die Funktion $f$ gewählt wird, so sollte ${\mathcal {D}}\subset {\mathcal {E}}$ eine Teilmenge sein, die bezüglich des $L^{2}$-Skalarprodukts dicht ist. Desweiteren sollte natürlich das obige Integral wohldefiniert sein.

Interpretation als duale Paarung

Unter den Voraussetzungen, dass ${\mathcal {D}}$ ein Testfunktionenraum ist und für alle $g\in {\mathcal {D}}$ das Integral

$\int _{\Omega }\,f(x)\,g(x)dx$

wohldefiniert ist, kann man $f$ als Element des Distributionenraums ${\mathcal {D}}^{\prime }$ auffassen. Dann erhält das Integral die Interpretation einer dualen Paarung

$\int _{\Omega }\,f(x)\,g(x)dx=\langle g,f\rangle .$

Anwendungen

This lemma is used to prove that extrema of the functional

$J[L(t,y,{\dot {y}})]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}L(t,y,{\dot {y}})\,dt$

are weak solutions of the Euler-Lagrange equation

${\partial L(t,y,{\dot {y}}) \over \partial y}={d \over dt}{\partial L(t,y,{\dot {y}}) \over \partial {\dot {y}}}.$

The Euler-Lagrange equation plays a prominent role in classical mechanics and differential geometry.

References

• L. Hörmander, The Analysis of Linear Partial Differential Operators I, (Distribution theory and Fourier Analysis), 2nd ed, Springer; 2nd edition (September 1990) ISBN 0-387-52343-X.

• Serge Lang: Analysis II. Addison-Wesley, 1969.

• George Leitmann: The Calculus of Variations and Optimal Control: An Introduction. Springer, 1981, ISBN 0306407078 (Abgerufen am 17. April 2007).

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