Benutzer:Wuzel/Spielwiese

In der elementaren Mengenlehre gibt es zwei wichtige Vergleichbarkeitssätze:

1. Für beliebige Mengen M, N gilt stets: |M| ≤ |N| oder |N| ≤ |M|. (Hier ist |M| ≤ |N| eine Kurzschreibweise für die Aussage "es gibt eine injektive Abbildung von M nach N.)
2. Wann immer $(A,<)$ und $(B,<)$ Wohlordnungen sind, dann ist eine dieser Wohlordnungen zu einem Anfangsabschnitt der anderen isomorph.

Beweisskizze des Satzes für wohlgeordnete Mengen

Für beliebige Wohlordnungen $(A,<)$ und $(B,<)$ definieren wir eine Relation $R_{A,B}\subseteq A\times B$ so:

$R_{A,B}:={\bigg \{}(x,y)\in A\times B:\{x\in A:x<a\}\simeq \{y\in B:y<b\}{\bigg \}}$

Man kann leicht zeigen, dass $R_{A,B}$ eine partielle injektive Funktion ist (rechtseindeutig und linkseindeutig), dass Definitionsbereich und Wertebereich Anfangsabschnitte von $A$ bzw $B$ sind, und dass diese Funktion streng monoton ist.

Die Annahme, dass sowohl Definitions- und Wertebereich echte Anfangsabschnitte von $A$ bzw $B$ sind, führt auf einen Widerspruch; denn dann müsste es $a_{0}\in A$ und $b_{0}\in B$ geben, sodass $R_{A,B}$ eine Ordnungsisomorphie von $\{x\in A:x<a_{0}\}$ nach $\{y\in B:y<b_{0}\}$ wäre, also wäre nach Definition auch $(a_{0},b_{0})$ in $R_{A,B}$.

Also ist entweder Definitions- oder Wertebereich von R ganz A bzw ganz B. damit ist dann R entweder eine Isomorphie zwischen A und einem Anfangsabschnitt von B, oder zwischen einem Anfangsabschnitt von A und B.

Beweisskizze des Satzes für beliebige Mengen

Seien M und N beliebige Mengen. Nach dem Wohlordnungssatz gibt es auf M und N Wohlordnungen (M,<) und (N,<). Nach dem Vergleichbarkeitssatz für Wohlordnungen exiFetter Textstiert ein Isomorphismus f zwischen der einen Wohlordnung und einem Anfangsabschnitt der anderen. Diese Abbildung ist nun eine injektive Funktion von der einen in die andere Menge.

Die Notwendigkeit des Auswahlaxioms

Der Vergleichbarkeitssatz für wohlgeordnete Mengen kann ohne Verwendung des Auswahlaxioms bewiesen werden.

Aus dem Vergleichbarkeitssatz für beliebige Mengen folgt hingegen der Wohlordnungssatz, somit auch das Auswahlaxiom: Zu jeder Menge M kann man nämlich nach dem Satz von Hartogs eine Ordinalzahl α finden, die nicht in M injektiv eingebettet werden kann. Nach dem Vergleichbarkeitssatz muss es eine injektive Abbildung von M nach α geben; so eine Abbildung induziert eine Wohlordnung auf M.

Geschichte

Der Satz wurde lange Zeit von Georg Cantor vermutet, konnte aber erst 1904 durch Ernst Zermelo bewiesen werden.

Siehe auch

• Cantor-Bernstein-Schröder-Theorem

Literatur

• Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre. Berlin 2004. ISBN 3-540-20401-6