Benutzer Diskussion:Arbol01/Primzahl (Beweise)

Eine ziemlich seltsame Seite. Erstens müsste hier zunächst mal eine Behauptung stehen, dann ein Beweis. Zweitens halte ich die Namensgebung für seltsam. Entspricht das den Wikipedia-Regel ? Drittens: hat das eine Existenzberechtigung in einer Enzyklopädie, wenn ohnedies der ähnliche und m.E. klarere Euklidsche Beweis zur Verfügung steht ?

Last but not least: der Kernsatz "aber nicht beide" ist nicht begründet. Hier muss man also weiter ausholen, was die Existenzberechtung der Seite weiter herabsetzt. Bitte trotzdem korrigieren.

Benutzer:fcc_go

Diese Seite ist éine Unterseite des Artikels Primzahlen. Dort kannst Du eintnehmen, das es um den Beweis geht, das es keine größte Primzahl, und damit unendlich viele Primzahlen gibt. Der kernsatz ergibt sich wie von selbst: Wenn $m=p_{1}*p_{2}*p_{5}$ und $n=p_{3}*p_{4}*p_{6}$ ist, kann p_i mit i im Intervall von 1 bis 6 nicht gleichzeitig Teiler von m und n sein, da m und n Teilerfremd sind. Das die Summe m+n sowohl Teilerfremd zu m wie auch n ist liegt auf der Hand.

Ob die Namensgebung der deutschen Wikipedia entspricht, kann ich nicht sagen. Gennerell entspricht sie der Wikipedia.

Nebenbei mußt Du wohl ziemlich neu sein, wenn Du noch nicht mal einen Benutzer richtig setzen kannst --Arbol01 00:30, 24. Mär 2004 (CET)

Ich halte es fuer eine gute Idee, neben Euklids Beweis noch andere anzugeben, sofern ihre Voraussetzungen in der Wikipedia zu finden sind (es gibt da z.B. sowas wie die Reihe der reziproken Primzahlen, fuer die aber erstmal die noetige Analysis verlinkt sein muesste). Wenn du, Arbol, weitere Beweise auf Lager hast, koenntest du diese in diesen Artikel integrieren, denn wir brauchen nicht fuer jeden Beweis einen eigenen Artikel.

Meines Wissens ist der Schraegstrich zur Erstellung von Unterseiten fuer den Artikel-Namensraum abgeschafft worden - das kann sich aber inzwischen wieder geaendert haben. Daher plaediere ich fuer einen anderen Namen, mir faellt nur gerade kein passender und schoen klingender ein.

Nebenbei haettest du den nicht mehr ganz so neuen Benutzer fcc_go (erster Eintrag am 29. Januar 2004) einfach darauf hinweisen koennen, dass man mit der Zeichenfolge --~~~~ seine Unterschrift mit Datum setzen kann, wobei die Striche "--" hier ueblich sind und "~~~~" durch den Benutzernamen ersetzt wird. --SirJective 17:42, 24. Mär 2004 (CET)

In dem Buch "The new Book of Prime Number Records" finden sich folgende Beweise dafür, das es keine größte Primzahl existiert:

Euklids Beweis, Kummer's Beweis, Stieltjes Beweis, Goldbachs Beweis, Schorn's Beweis, Euler's Beweis, Thue's Beweis, Perrot's Beweis, Auric's Beweis, Metrod's Beweis (Variante von Stieltjes Beweis), Washington's Beweis und Fürstenberg's Beweis.

Ich kann nur solche Beweise hier reinbringen, die ich auch nachvollziehen kann, weil ich ansonsten nur abschreiben würde.

Im französischen Wikipedia existiert zumindest eine Seite mit Schrägstrich. Diese geht von dem Artikel über das Sierpinski-Dreieck aus, und beinhaltet ein Programm zur Erzeugung eines Sierpinski-Dreieck. Ich bin mir nicht sicher, meine aber auch auf dem englischen Wikipedia so etwas gesehen zu haben. --Arbol01 19:07, 24. Mär 2004 (CET)

Altlasten? oder neue? Ich hatte das auch so verstanden, dass Schrägstrichseiten nur noch bei Benutzerseiten üblich sind. -- Perrak 23:06, 24. Mär 2004 (CET)

Arbol, fällt dir ein geeigneter Name für einen Artikel ein, der mehrere Primzahlbeweise enthalten wird?

Die Unterstützung von Unterseiten im Artikel-Namensraum ist abgeschaltet - das heißt, es gibt keinen automatischen Link auf die Oberseite, wie das z.B. bei dieser Diskussionsseite ganz oben der Fall ist. Mit Einführung der Phase III-Software entfiel die Notwendigkeit von Unterseiten für Artikel. Ich bin der Meinung, man sollte sie für Artikel vermeiden. --SirJective 23:41, 24. Mär 2004 (CET)

Wie wäre es mir Primzahl_(Beweise) oder so? --Arbol01 00:08, 25. Mär 2004 (CET)

Ja, ich denke, der Name ist in Ordnung. Verschiebst du den Artikel und fügst die untenstehenden Beweise dann ein? --SirJective 16:24, 25. Mär 2004 (CET)

Ich mache es heute Abend, in 2- 3 Stunden. Dann habe ich mehr muße. --Arbol01 16:59, 25. Mär 2004 (CET)

Nochmal zu Stieltjes Beweis: die (zumindest in der Diskussion) nachgereichte Begründung "da m und n teilerfremd sind" ist ihrerseits ebenfalls nicht begründet. Und sie ist auch nicht begründbar, so lange man von m und n nur weiß, dass sie _irgend_ eine Zerlegung von N sind. --Fcc go 22:45, 28. Mär 2004 (CEST)

Ich weiß nicht, ob Dir überhaupt zu helfen ist. N ist ein Produkt aus Primzahlen. Angenommen 13 sei die größte Primzahl. Dann ist N = 2*3*5*7*11*13

Dann sind N=m*n zum Beispiel N = (3*5*7)*(2*11*13). Da es, nach unserer Annahme, keine andere Primzahl gibt, kann ein p_i entweder Bestandteil von n sein, oder von m. Es kann nicht in beiden Enthalten sein.

Nehmen wir nun zwei Primzahlen p_m und p_m, wobei wir annehmen, daß p_m m teilt, und p_n n teilt. wenn man nun die Summe s = m + n bildet, dann kann weder p_m noch p_n Die Summe s teilen. Warum? Damit p_m s teilen könnte, müßte s ein Vielfaches von p_m sein. Eine Summe s könnte aber nur dann ein Vielfaches von p_m sein, wenn entweder m und n beide vielfache von p_m sind, oder im Gegenteil nun m und n gerade beide keine Vielfachen von p_m sind.

Man kommt im Zweifelsfalle nicht darum herum, sich so etwas selbst zu erarbeiten. --Arbol01 00:31, 29. Mär 2004 (CEST)

Unendlich viele teilerfremde Zahlen

Ich denke die Beweise von Schorn und Goldbach kann man zusammenfassen. Beide beruhen darauf, dass es unendlich viele paarweise teilerfremde Zahlen gibt.

Sind Zahlen paarweise teilerfremd, trifft dies offenbar auch auf die Primzahlen ihrer Zerlegungen zu. Es gibt daher mindestens so viele Primzahlen wie paarweise teilerfremde Zahlen. Die Zahlen n!*i+1 für i=1,n sowie die Fermatschen Zahlen F0 bis Fn sind paarweise teilerfremd, woraus auch unmittelbar folgt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, was bereits Euklid gezeigt hatte.

Der Beweis von Euklid fehlt jedoch noch. Ich denke der sollte am Anfang stehen.

Benutzer:Fsswsb 23.04

Zum ersten Punkt: Ja, eine Zusammenfassung wäre sinnvoll, aber siehe unten: ich würde den Artikel ohnehin verschieben. Zu Euklid: Lies Dir den ersten Absatz mal durch.--Gunther 11:13, 23. Apr 2006 (CEST)

Das mit der Zusammfassung ist wohl nicht so wichtig. Der Beweis von Euklid gehört nach meiner Meinung eindeutig in den Artikel und nicht nur ein Link. Der Beweis ist derart kurz, dass es unsinnig wäre den Leser hier nur auf einen Link zu verweisen. Bei den übrigen Beweise genügt eigentlich ein Link und eventuell eine Kurzbeschreibung der Beweisidee.

Der Satz von Euklid (nicht nur eine erst später bewiesene Vermutung) stammt eindeutig aus der Antike. Den Artikel mit einem Beweis aus dem 19. Jahrhundert zu beginnen ist albern, da der Satz von Euklid und der Beweis jeder Mathematiker kannte. Zu diesem Zeitpunkt war ja bereits der Primzahlsatz bekannt. Es war also nicht nur bekannt, dass es unendliche viele Primzahlen gibt, sondern sogar eine Formel wie die Anzahl der Primzahlen bis zu einer Schranke näherungsweise berechnet werden kann.

"Neuer" Beweis

Die Zetafunktion besitzt eine Produktdarstellung

$\zeta (s)=\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}};$

Gäbe es nur endliche viele Primzahlen, wäre die rechte Seite für $s=1$ endlich, aber

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\ldots$

ist divergent. Soll ich das mal in eine elementare Form bringen?-- Gunther 19:35, 10. Apr 2005 (CEST)

Ja, warum nicht. Ich glaube, dieser Beweis wird Euler zugeschrieben. (Variante: für s=2 kommt eine irrationale Zahl raus... aber das geht nicht mehr so elementar...)

Im "BUCH der Beweise" (Aigner und Ziegler, ISBN 3540401857), das ich gerade nicht bei der Hand habe, gibt es noch ein paar. -- Wuzel 11:43, 11. Apr 2005 (CEST)

Ich bin mir nicht sicher! Eulers Beweis wird in Paolo Ribenboim's Buch so beschrieben:

Angenommen, das p1, p2, ... , pn alle Primzahlen sind. Für jedes i = 1, ... ,n

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}^{k}}}={\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}$

Diese n Gleichungen multipliziert, erhält man:

$\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}^{k}}}\right)=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}$

hier steige ich mit den Formeln mal aus. Für die Richtigkeit lege ich meine Hand nicht in das Feuer, da Ribenboim Fehlerbehaftet ist.

Wenn jemand Euler, Schorn, Thue, Perott, Auric, Washington, Fürstenberg und noch andere verständlich rüberbringen kann, wäre mir das sehr recht. Nur, Ich muß es wenigstens nachvollziehen können. --Arbol01 12:03, 11. Apr 2005 (CEST)

Man sollte vielleicht noch sagen, wieso n!i+1 paarw. teilerfremd sind: ggT(n!i+1, n!j+1) = ggT(n!i+1, n!(j-i)) und |j-i| < n.

Verschieben ins Beweisarchiv

Ich schlage vor, den ganzen Artikel ins b:Beweisarchiv zu verschieben. Genau dafür ist es da, und man muss sich dann keine Gedanken darum machen, ob die einzelnen Beweise wirklich relevant genug sind. Außerdem ist das Beweisarchiv ein wenig flexibler hinsichtlich der Allgemeinverständlichkeit.--Gunther 11:00, 23. Apr 2006 (CEST)

Abgesehen davon, das sich der gesamte Inhalt bereits in Wikibooks befindet (siehe hier), bezieht sich der auf Wikibooks eingestellte Teil auf diese Seite. --Arbol01 11:34, 23. Apr 2006 (CEST)

Mit Verlaub, aber bei Deinem Wikibook habe ich das Gefühl, dass das einfach zu groß geplant ist, um jemals fertig zu werden. Das Beweisarchiv besteht aus vielen (naja, einigen) kleinen Stückchen, die voneinander weitgehend unabhängig sind und das explizit als Ergänzung zur WP gedacht ist. Die Probleme damit, dass dieser Artikel hier doch nur eine Auslagerung aus Primzahl bzw. Satz von Euklid ist, zeigen sich ja auch oben bei Fsswsb. Was hältst Du von einem LA?--Gunther 12:05, 23. Apr 2006 (CEST)

Klar ist mein Wikibook ein riesen Brocken. Ich könnte auch noch gerne ein paar kompetente Leute gebrauchen (der letzte andere Benutzer, der etwas gemacht hat, war ein Mensch, der unbedingt 30n+k als Eigenschaft im Wikibook haben wollte). Ich habe nichts gegen eine Verlagerung in das Beweisarchiv, und auch nicht gegen einen Löschantrag. Meine Frage ist halt: "Was mache ich dann mit meiner Quellenangabe in meinem Wikibook?" --Arbol01 12:10, 23. Apr 2006 (CEST)

[1]--Gunther 12:18, 23. Apr 2006 (CEST)

?????? -Arbol01 12:23, 23. Apr 2006 (CEST)

"de" und "Primzahl (Beweise)" eingeben, unten "Wiki Text" auswählen, und Du bekommst eine Liste der Autoren, die Du auf die Diskussionsseite kopieren kannst. Evtl. musst Du für Wikibooks noch die Links auf die Benutzerseiten anpassen.--Gunther 12:29, 23. Apr 2006 (CEST)

Die Liste der Autoren (jedenfalls die der fünf wichtigsten Autoren) habe ich schon auf der Diskussionsseite. Die Einträge sind auch nicht so unübersichtlich, das ich des Dienstes bedurft hätte. --Arbol01 12:34, 23. Apr 2006 (CEST)