Carnot-Wirkungsgrad

Carnot-Wirkungsgrad (in %) in Abhängigkeit von T_k und T_h (jeweils in °C)

Der Carnot-Wirkungsgrad $\eta _{c}$, auch Carnot-Faktor genannt, ist der höchste theoretisch mögliche Wirkungsgrad bei der Umwandlung von thermischer Energie in mechanische Energie. Er beschreibt den Wirkungsgrad des Carnot-Prozesses, eines vom französischen Physiker Nicolas Léonard Sadi Carnot erdachten idealen Kreisprozesses.

Berechnung

Der Wert des Carnot-Wirkungsgrades hängt ab von den Kelvin-Temperaturen $T_{h}$ (heiß) und $T_{k}$ (kalt) der Reservoirs, zwischen denen die Wärmekraftmaschine arbeitet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \eta_c = \frac{T_h - T_k}{T_h} = 1 - \frac{T_k}{T_h} }

Der Carnot-Wirkungsgrad ist umso größer, je höher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_h} und je tiefer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_k} ist. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_h} nach oben und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_k} nach unten begrenzt sind, ist ein Wirkungsgrad von 100 % ausgeschlossen.

Beispiel

Der Carnot-Wirkungsgrad eines Prozesses, der zwischen 800 °C (1073,15 K) und 100 °C (373,15 K) abläuft, beträgt:

$\eta _{c}=1-{\frac {373{,}15}{1073{,}15}}=0{,}652=65{,}2\ \%$

Theoretische Grundlage

Eine Wärmekraftmaschine entnimmt Energie in Form von Wärme Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_h} aus einem Wärmespeicher hoher Temperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_h} und gibt einen Teil davon als Nutzarbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} (z. B. in Form von mechanischer Arbeit) ab. Der übrige Teil der entnommenen Energie fließt als Wärme Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_k} in einen Wärmespeicher niedrigerer Temperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_k} . Der Wirkungsgrad $\eta$ der Wärmekraftmaschine ist definiert als Verhältnis der abgegebenen Nutzarbeit zur aufgenommenen Wärmemenge:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \eta = \frac{W}{Q_h}}

Der Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine wird durch den Zweiten Hauptsatz der Thermodynamik begrenzt: Bei der isothermen Entnahme der Wärme aus dem heißen Reservoir wird die Entropie $S_{h}={\frac {Q_{h}}{T_{h}}}$ auf die Maschine übertragen; auf der kalten Seite der Maschine wird die Entropie $S_{k}={\frac {Q_{k}}{T_{k}}}$ auf das kalte Reservoir übertragen.

Da in selbständig ablaufenden Prozessen die Entropie niemals abnimmt, muss gelten:

$S_{k}\geq S_{h}$.

Entsprechend gilt für die Wärme:

$\Rightarrow Q_{k}\geq Q_{h}\,{\frac {T_{k}}{T_{h}}}$

Berücksichtigt man außerdem, dass die gesamte Energiebilanz neutral ist

$Q_{k}=Q_{h}-W$,

so folgt für die Nutzarbeit:

$\Rightarrow W\leq Q_{h}(1-{\frac {T_{k}}{T_{h}}})$

und entsprechend für den Wirkungsgrad:

$\eta \leq \eta _{c}$.

In der Praxis sind isotherme Wärmeübergänge nicht realisierbar, und die Prozesstemperaturen weichen von den Reservoirtemperaturen ab. Technisch werden daher je nach Kreisprozess nur maximale Wirkungsgrade von über zwei Drittel des Carnot-Wirkungsgrades erreicht.

Analoge Größen für Wärmepumpen und Kältemaschinen

→ Hauptartikel: Leistungszahl

In Wärmepumpen und Kältemaschinen wird der entgegengesetzte Prozess betrieben: mechanische bzw. elektrische Energie wird aufgewendet, um thermische Energie von niedrigen auf höhere Temperaturen zu heben. Daher beschreibt der Carnot-Wirkungsgrad hier nicht die maximal erzielbare, sondern die mindestens aufzuwendende elektrische Energie:

• Wärmepumpe: $W_{\mathrm {el} }>(1-{\frac {T_{k}}{T_{h}}})\,Q_{h}$
• Kältemaschine: $W_{\mathrm {el} }>({\frac {T_{h}}{T_{k}}}-1)\,Q_{k}$.

Die Effizienz dieser Maschinen wird folglich nicht durch den Wirkungsgrad, sondern durch Leistungszahlen $\epsilon$ beschrieben.

Bei einer Wärmepumpe (WP) wird die auf dem oberen Temperaturniveau von der Wärmepumpe abgegebene Wärme $Q_{h}$ genutzt:

$\epsilon _{\mathrm {WP} }={\frac {Q_{h}}{W_{\mathrm {el} }}}<\epsilon _{\mathrm {WP,c} }$

mit

$\epsilon _{\mathrm {WP,c} }={\frac {1}{\eta _{c}}}={\frac {T_{h}}{T_{h}-T_{k}}}>1$.

Bei einer Kältemaschine (KM) ist die bei der niedrigen Temperatur durch die Kältemaschine aufgenommene Wärme $Q_{k}$ die Nutzgröße:

$\epsilon _{\mathrm {KM} }={\frac {Q_{k}}{W_{\mathrm {el} }}}<\epsilon _{\mathrm {KM,c} }$

mit:

$\epsilon _{\mathrm {KM,c} }={\frac {1}{\eta _{c}}}-1={\frac {T_{k}}{T_{h}-T_{k}}}$.

Weblinks

• Interaktive Berechnung des Carnot-Wirkungsgrads. In: GeoGebra. Abgerufen am 31. August 2021