Differenzkokern

Der Differenzkokern ist ein mathematischer Begriff aus dem Teilgebiet der Kategorientheorie. Es handelt sich um den zum Differenzkern dualen Begriff. Alternative Bezeichnungen sind Koegalisator oder, der englischen Bezeichnung nachempfunden, Koequalizer. Auch die Schreibweisen mit „c“, das heißt Differenzcokern, Coegalisator bzw. Coequalizer, sind gebräuchlich.

Definition

In einer Kategorie seien zwei Morphismen $f,g\colon X\rightarrow Y$ gegeben. Ein Differenzkokern von $f$ und $g$ ist ein Morphismus $q\colon Y\rightarrow Z$ mit folgenden Eigenschaften:

• $q\circ f=q\circ g$
• Ist auch $q'\colon Y\rightarrow Z'$ ein Morphismus mit $q'\circ f=q'\circ g$, so gibt es einen eindeutig bestimmten Morphismus $c\colon Z\rightarrow Z'$ mit $q'=c\circ q$.

  ${\begin{array}{ccccc}X&{\underset {f}{\overset {g}{\rightrightarrows }}}&Y&{\xrightarrow {q}}&Z\\&&&\searrow ^{q'}&\downarrow ^{c}\\&&&&Z'\\\end{array}}$

Beispiele

• In der Kategorie Set der Mengen oder der Kategorie Top der topologischen Räume seien $f,g\colon X\rightarrow Y$ wie in obiger Definition. Es sei weiter $Q$ die kleinste Äquivalenzrelation auf $Y$, die alle Paare $(f(x),g(x)),\ x\in X$ enthält. Dann ist die Identifizierungsabbildung $q\rightarrow Y/Q$ ein Differenzkokern von $f$ und $g$.
• In der Kategorie $R$-Mod der Linksmoduln über einem Ring $R$ sei in der Situation obiger Definition $Q$ der von allen Differenzen $f(x)-g(x),\ x\in X$ erzeugte Untermodul von $Y$. Dann ist die Quotientenabbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q\rightarrow Y/Q} ein Differenzkokern von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} . Dies ist also nichts anderes als der Kokern der Differenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f-g} , was die Bezeichnung Differenzkokern erklärt.
• Hat die betrachtete Kategorie Nullobjekte und ist in der Situation obiger Definition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g=0_{XY}} der Nullmorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\rightarrow Y} , so ist ein Differenzkokern von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0_{XY}} nichts anderes als ein Kokern von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} . Damit ist jeder Kokern ein Beispiel für einen Differenzkokern.

Bemerkungen

• Differenzkokerne sind nicht eindeutig bestimmt. Sind aber in der Situation obiger Definition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q\colon Y\rightarrow Z} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{q}\colon Y\rightarrow \tilde{Z}} zwei Differenzkokerne von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} so folgt aus der Eindeutigkeiteigenschaft, dass es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c\colon Z\rightarrow \tilde{Z}} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{q} = c\circ q} gibt. Differenzkokerne sind also bis auf (eindeutige) Isomorphie bestimmt, weshalb man oft von dem Differenzkokern spricht.
• In einer weiteren sprachlichen Ungenauigkeit nennt man das Objekt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} den Differenzkokern. Der eigentlich gemeinte Morphismus ist dann immer eine naheliegende Quotientenabbildung und bleibt daher unerwähnt.
• Man sagt, eine Kategorie habe Differenzkokerne, wenn es zu je zwei Morphismen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y} einen Differenzkokern gibt. Die in den obigen Beispielen genannten Kategorien Set, Top und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} -Mod haben offenbar Differenzkokerne.
• Die Differenzkokerne einer Kategorie sind genau der Differenzkerne der dualen Kategorie.
• Ein Morphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q\colon Y\rightarrow Z} ist genau dann ein Differenzkokern von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f,g\colon X\rightarrow Y} , wenn das Diagramm

  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{ccc} X & \xrightarrow{f} & Y \\ \downarrow^{g} & & \downarrow^{q} \\ Y & \xrightarrow{q} & Z \\ \end{array} }

ein Pushout ist.

• Jeder Differenzkokern ist ein Epimorphismus. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, diejenigen Epimorphismen, die als Differenzkokern auftreten, nennt man regulär.