Diskussion:Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie

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Die Grundfassung des Axiomensystems wurd übernommen aus dem Lemma Euklidische Geometrie. -- Peter Steinberg 14:12, 27. Feb 2006 (CET)

Kleiner technischer Hinweis: Momentan steht bei mir direkt nach dem Ankündigungssatz "Zu diesem Zweck verknüpft Hilbert..." das Inhaltsverzeichnis, und die Überschriften lauten "1 I. Axiome der Verknüpfung" usw. (weil ich die automatische Numerierung eingeschaltet habe).--Gunther 01:04, 6. Apr 2006 (CEST)

Was soll man da machen? - Die automatische Numerierung (arabisch) kollidiert halt mit der traditionellen Gruppierung (römisch), die aber auch nicht unter den Tisch fallen sollte. Einen Lösungsvorschag habe ich hochgeladen. -- Peter Steinberg 00:55, 7. Apr 2006 (CEST)

Wenn ich ein Patentrezept wüsste, hätte ich es genannt. Die Lösung sieht für mich gut aus.--Gunther 01:11, 7. Apr 2006 (CEST)

Beim Parallelenaxiom (das ich natürlich als erstes gelesen habe) bin ich darüber gestolpert, dass es mindestens eine Parallele gibt. Sollte man nicht irgendwo im Artikel darauf eingehen, dass so etwas wie die Kugelgeometrie mit den Punktepaaren als "Punkten" nicht abgedeckt ist (dass Anordnung dabei nicht funktioniert, ist irgendwie klar und muss mMn nicht erklärt werden).

Und was mir nebenbei gerade noch auffällt: Die erwähnte elliptische Geometrie ist (im wesentlichen dasselbe wie) die reelle projektive Ebene. Steht das schon irgendwo, sollte das irgendwo stehen?--Gunther 23:13, 14. Mai 2006 (CEST)

Was heißt "im Wesentlichen"? Der zugrundeliegende Raum (mit Punkten und Geraden) ist derselbe. Die Abbildungen sind aber andere: bei der elliptischen Geometrie die orthogonale Gruppe (Drehungen und Spiegelungen), bei der projektiven Geometrie die projektiven Abbildungen. -- Digamma 11:37, 27. Jun. 2010 (CEST)

Im Artikel wird geschrieben: "Dass es mindestens eine solche Gerade (Parallele) gibt, folgt aus den Axiomen I - III." Ich konnte das aufgrund der Axiome der Gruppe I. nicht beweisen, dass es solche Geraden gäbe. Könnte das jemand herleiten? Alexisz Gaál (28. Juni 2007)

Elliptische Geometrie

Dazu eine Frage: Offensichtlich reicht es ja nicht, das Parallelenaxiom abzuändern. Kann man sagen, wie man die Axiome abändern muss, damit man eine elliptische Geometrie erhält? -- Digamma 11:38, 27. Jun. 2010 (CEST)

Die Abhängigkeit der Axiome (in der von Hilbert gegebenen Form) wurde nach meiner Literaturkenntnis nie wirklich aufgedröselt. Daher kann vermutlich keiner sagen, was passiert, wenn man ein einzelnes Axiom umdreht. Die elliptische Geometrie baut auf Gruppe I, der generellen Inzidenz auf und ergänzt diese durch Inzidenzaxiome, die IV, das Parallelenaxiom ausschließen. Fügt man einer elliptischen Geometrie Anordnungsstruktur hinzu, dann kann das meinem Gefühl und meiner Literaturkenntnis nach strukturell nicht viel mehr als topologisch verwandt zu den Anordnungen bei Hilbert sein. Orthogonalität (ungefähr = Kongruenz) scheint es formal auch in manchen nichteuklidischen Geometrien "in gewissem Sinn" zu geben, aber die hat anschaulich so gar nichts mit der euklidischen Rechtwinkligkeit zu tun... Die besten Aussichten, ein Axiom sinnerhaltend auf eine absonderliche Geometrie draufzusetzen, hat vermutlich das Vollständigkeitsaxiom V.2, weil es "fast" modelltheoretisch formuliert ist.

Zur eigentlichen Frage: Die alternativen Axiomensysteme, die ich kenne, ergeben sich durch Reduktion von Hilbert auf einige Grundgedanken. Sein System "krankt" halt an seiner Anschaulichkeit, vielleicht auch an seiner natülich-sprachlichen Formulierung, durch die es recht weit weg von den algebraischen Modellierungen ist.--KleinKlio 01:14, 30. Okt. 2010 (CEST)

Intro

Die Anekdote ist inzwischen belegt, aber das ist ja nicht alles, was dort steht. Den Beleghinweis gab ich, weil gleich darauf eine Analyse und Bewertung von Hilberts Arbeit folgt, die niemandem zugeschrieben wird. Dies macht den Eindruck, dass WP diese Analyse vornimmt; Wikipedia will sich aber keine Meinungen herausnehmen. (WP:NPOV, WP:NOR)--131.159.0.7 15:54, 12. Nov. 2010 (CET)

Axiom der Transitivität (Gruppe III)

* III.2. Wenn eine Strecke zu zwei anderen Strecken kongruent ist, so sind diese auch zueinander kongruent; formaler: wenn AB ≡ A´B´ und AB ≡ A´´B´´, so ist A´B´ ≡ A´´B´´.

Es wird also gefordert, dass die Kongruenz-Relation transitiv ist. Damit ist sie eine Äquivalenzrelation.

Diese Relation heißt meines Wissens euklidisch, siehe Wiki-Artikel.

"Eine Relation R heißt euklidisch, wenn aus xRy und xRz auch yRz folgt"

http://de.wikipedia.org/wiki/Glossar_mathematischer_Attribute

Eine tranisitive Relation würde formal lauten: wenn AB ≡ A´B´ und A'B' ≡ A´´B´´, so ist AB ≡ A´´B´´.

Oder natürlichsprachlich z.B.:

Wenn Strecke a zu Strecke a' kongruent ist, und Strecke a' zu Strecke a kongruent ist, so ist auch a zu a kongruent.

Nachtrag: Ebenso hier

Es fällt auf, dass die Eindeutigkeit der Konstruktion und die Selbstkongruenz hier (im Gegensatz zu der Kongruenz von Strecken) axiomatisch festgelegt werden muss.

   * III.5. Aus <\!\!\!)\,(h,g)\equiv<\!\!\!)\,(h',g') und <\!\!\!)\,(h,g)\equiv<\!\!\!)\,(h,g) folgt <\!\!\!)\,(h',g')\equiv<\!\!\!)\,(h,g).

Aus diesem Axiom folgt mit der Selbstkongruenz, dass die Kongruenz für Winkel eine transitive und symmetrische Relation ist.

--88.73.112.117 23:34, 25. Mai 2011 (CEST)

Zum Verhalten von Geraden

Mein Geometrielehrer hat die Schüler immer korrigiert, wenn diese "Gerade schneiden sich" sagten: "Geraden können sich nicht schneiden, sie können nur einander schneiden. Nur manche Kurven können sich schneiden." Das klingt vielleicht etwas haarspalterisch, ist aber wohl nicht falsch. (nicht signierter Beitrag von Peterchristmann (Diskussion | Beiträge) 16:22, 18. Aug. 2011 (CEST))

Das ist eine Frage der deutschen Sprache. "Sich" kann eben auch "einander" bedeuten. Ich kann sagen: "Zwei Freunde begrüßen sich." Da ist nicht gemeint, dass jeder sich selbst begrüßt, sondern jeder begrüßt den andern. "Einander" ist auf jeden Fall unmissverständlich. Ich selbst würde auch "einander" sagen, aber "sich" nicht als falsch betrachten. -- Digamma 19:57, 19. Aug. 2011 (CEST)

Skizzen zu jedem Axiom?

Was haltet ihr von der grundlegenden Idee, Skizzen zu jedem Axiom Hilberts (zum Beispiel mit GeoGebra erstellt) an der passenden Stelle im Artikel zu positionieren? Ob sich dann jemand mit Zeit und Lust dafür findet, ist noch mal eine ganz andere Frage, aber was haltet ihr grundsätzlich davon? Sind euch Zeichnungen bei derart einfachen Sachverhalten als heuristische Mittel verhasst? Oder denkt ihr, dass sie das Verständnis fördern könnten? Gebt einfach ein kurzes Statement ab. Danke! (nicht signierter Beitrag von 79.245.164.196 (Diskussion) 21:53, 7. Jan. 2015 (CET))

Bedeutung von "bestimmen"?

Was bedeutet es, dass zwei Punkte P,Q eine Gerade g bestimmen? Falls es bedeutet, dass P und Q auf g liegen, dann ist I.2 eine Tautologie. Falls es bedeutet, dass P und Q auf g liegen und es keine andere Gerade mit dieser Eigenschaft gibt, dann wird I.2 durch I.1 impliziert. --77.23.218.84 13:01, 24. Apr. 2015 (CEST)

I.2 besagt gerade, dass es keine andere Gerade mit dieser Eigenschaft gibt. --Digamma (Diskussion) 22:17, 30. Dez. 2017 (CET)

Unpräzise Folgerung Axiomen Gruppe I

"Aus diesen Axiomen allein lässt sich zum Beispiel folgern, [...]

dass zwei sich schneidende Geraden eine Ebene bestimmen."

Das ist imo etwas (zu) unpräzise.

1. Wenn die beiden Geraden identisch sind, also aufeinander fallen, dann schneiden sie sich (überall), bestimmen aber eine ganze EbenenSCHAR.
2. Auch zwei parallele, jedoch nicht aufeinanderfallende Geraden definieren eine Fläche.

Ich denke, der Fall im Artikel sollte zumindest geändert werden auf

"dass zwei verschiedene, sich schneidende Geraden eine Ebene bestimmen."

--arilou (Diskussion) 11:41, 4. Dez. 2019 (CET)

Sind "zwei identische Geraden" nicht nur eine Geraden? Zwei Geraden sind automatisch verschieden, sonst wäre es nur eine Gerade. --Digamma (Diskussion) 18:49, 4. Dez. 2019 (CET)

Wenn eine Prüfungsaufgabe anfängt mit "Gegeben seien Gerade A und Gerade B", dann würde ich tunlichst empfehlen, nicht davon auszugehen, dass sie garantiert verschieden sind, weil's ja zwei Geraden sind. Sonst gibt's in dieser Prüfungsaufgabe ggf. null Punkte. --arilou (Diskussion) 13:50, 5. Dez. 2019 (CET)

Da steht dann ja auch nicht, dass das zwei Geraden sind. Aber du hast recht, es spricht nichts dagegen, den obigen Satz zu präzisiseren, zumal bei den andern Aussagen auch zur Verdeutlichung "verschieden" steht. Ich habe das mal gemacht. Gruß, --Digamma (Diskussion) 18:43, 5. Dez. 2019 (CET)

Literatur/Einzelnachweis Buch von B. Klotzek

Im Abschnitt Literatur wird das Buch Benno Klotzek: Euklidische und nichteuklidische Elementargeometrien. 1. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-1583-0 ausführlich angegeben, im Abschnitt Einzelnachweise (aus Quelltextsicht ganz am Ende des einführenden Abschnitts) aber nur als „Klotzek (2001)“. Ist das die übliche Darstellungsweise?--Himbeerbläuling (Diskussion) 11:16, 10. Aug. 2020 (CEST)

Nein, besser ist es, die bibliographischen Angaben auch im Einzelnachweis ausführlich anzugeben. Du kannst es gerne verbessern. Noch besser wäre es, auch noch die Fundstelle (z.B. Seitenzahl) anzugeben. --Digamma (Diskussion) 11:58, 10. Aug. 2020 (CEST)

Bierseidel-Zitat

Am Anfang wird das berühmte Bierseidel-Zitat von Hilbert wiedergegeben, allerdings ohne verlässliche Quelle (darum "soll einmal gesagt haben"). Ich habe den Ursprung in https://doi.org/10.1007/978-3-662-38452-7 (S. 402) gefunden, in der von Otto Blumenthal verfassten Lebensgeschichte im dritten Band der gesammelten Werke von Klein. Meine ersten Umformulierungsversuche zu dem Absatz sind gescheitert, aber vielleicht kann ja jemand anderes das "soll einmal gesagt haben" in eine Art "hat laut Otto Blumenthal einmal zu anderen Geometern gesagt" ändern. Hier der Originaltext von Blumenthal: In einem Berliner Wartesaal diskutierte er mit zwei Geometern (wenn ich nicht irre, A. Schoenflies und E. Kötter) über die Axiomatik der Geometrie und gab seiner Auffassung das ihm eigentümliche scharfe Gepräge durch den Ausspruch: „Man muß jederzeit an Stelle von „Punkte, Geraden, Ebenen“ „Tische, Stühle, Bierseidel“ sagen können“. --Kortenkamp (Diskussion) 14:06, 9. Sep. 2022 (CEST)