Diskussion:Kartesisches Produkt

Korrektur

In dem Artikel steht für unendliche Produkte die Aussage:

Dies stimmt für endliche Indexmengen $I=\{1,2,\ldots ,n\}$ mit der obigen Definition überein, denn jedes n-Tupel $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ definiert eine Funktion f mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(1):=a_1,\ldots,f(n):=a_n} und umgekehrt lässt sich jede solche Funktion als Tupel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (f(1),\ldots,f(n))} schreiben.

Das ist falsch, es herrscht wieder nur Übereinstimmung bis auf eine kanonische Bijektion, vlg. auch die von mir erstellten diesbezüglichen Anmerkungen im Artikel Mengenlehre.--MKI 14:58, 29. Mär 2005 (CEST)

Ich habe es umformuliert; weitere Verbesserungen sind willkommen. --NeoUrfahraner 18:51, 29. Mär 2005 (CEST)

Rechenregeln

Im Artikel steht unter "Sonstige Rechenregeln":

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(A_1 \cup A_2\right) \times \left(B_1 \cup B_2\right) \neq \left(A_1 \times B_1\right) \cup \left(A_2 \times B_2\right)}

Dies wurde mit Hilfe von leerer Menge bewiesen.
Dazu gibt es folgendes zu sagen:

- das kartesische Produkt mit einer leeren Menge ist nicht zu bilden. 
- man kann aber hingegen das kartesische Produkt mit dem Element {0} bilden.

- {0} ist ungleich der leeren Menge
  {0} hat das Element "0"

--Scythe 11:17, 22. Dez 2005 (CET)

Man kann das kartesische Produkt mit der leeren Menge bilden, das Ergebnis ist wieder die leere Menge. Das kartesische Produkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\times B} besteht aus allen Paaren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,b)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a\in A,b\in B} , und wenn eine der Mengen A,B leer ist, gibt es keine solchen Paare, also ist das kartesische Produkt die leere Menge.--Gunther 11:25, 22. Dez 2005 (CET)

Kreuzprodukt

Man findet auch den Namen Kreuzprodukt für das Kartesische Produkt. Sollte das keine Falschbezeichnung sein, so wäre eine entsprechende Nennung angebracht und ein BKLII-Verweis auf Kreuzprodukt hilfreich. --chrislb 问题 15:28, 10. Okt. 2007 (CEST)

Neutrales Element

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{a\} \times \left\{()\right\} } wird doch zu $(a,())$, bitte überprüfen! Gerade beim Assoziativgesetz wird doch auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,(b,c)) \ne ((a,b),c)} Bezug genommen. --Erzbischof 13:45, 11. Aug. 2009 (CEST)

Kalendar-Beispiel

Wie soll denn das Kalendar-Beispiel als ein Beispiel für das Konzept kartesisches Produkt interpretiert werden? Ich sehe in Formulierungen wie So ist durch die Angabe (47. Kalenderwoche 2004, Montag) der 15. November 2004 bestimmt einen bijektiven funktionalen Zusammenhang - aber darum soll's in diesem Artikel ja nicht gehen. --Abdull 23:38, 30. Aug. 2010 (CEST)

Ich habe den Kalender durch ein Schachbrett ersetzt, das ist wohl ein intuitiveres nichtmathematisches Beispiel. --Quartl (Diskussion) 21:26, 30. Okt. 2012 (CET)

Abzählbar und überabzählbar viele Mengen

Hallo Quartl,

warum behandelst du die beiden Fälle getrennt? Für mich ist eine Folge nichts anderes als eine Funktion mit Definitionsbereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \N} , so dass die Definition für den abzählbaren Fall einfach ein Spezialfall des allgemeinen Falls ist. Ich würde deshalb die beiden Fälle zusammenzulegen und nur als Spezialfall nennen, dass man im Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I = \N} die Menge aller Folgen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_i\in A_i} erhält.

Man sollte außerdem dazusagen, dass man den Fall von endlich vielen Mengen auch als Spezialfall auffassen kann, indem man Tupel mit endlichen Folgen identifiziert. --Digamma (Diskussion) 21:42, 29. Okt. 2012 (CET)

Ja, so war es vorher auch. Meiner Erfahrung nach lohnt es sich aus didaktischen Gründen den abzählbaren Fall separat zu behandeln. Für unsereins ist der Zugang über allgemeine Indexmengen natürlich, (Studien-)Anfänger haben da aber noch Schwierigkeiten und über das kartesische Produkt kann man sich gut den verschiedenen Unendlichkeiten nähern. Zu den Mächtigkeiten wollte ich evtl. auch noch was ergänzen. Aber vielleicht hast du recht, ich werde nochmal drüber schlafen. Der Hinweis auf die Spezialfälle ist übrigens im Abschnitt zu den überabzählbaren Produkten drin (evtl. etwas knapp). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:03, 29. Okt. 2012 (CET)

Das "endlich" habe ich übersehen. --Digamma (Diskussion) 23:06, 29. Okt. 2012 (CET)

Ich habe die Reihenfolge nun wieder umgedreht, letztendlich weil man auch schon für den abzählbaren Fall die Existenz einer Auswahlfunktion braucht, um nichttriviale Eigenschaften zu zeigen. Besser so? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 21:25, 30. Okt. 2012 (CET)

Gefällt mir sehr gut. --Digamma (Diskussion) 22:26, 30. Okt. 2012 (CET)

Assoziativität

Der Artikel nennt die Nichtassoziativität als eine Eigenschaft des kartesischen Produkts:

Das kartesische Produkt ist auch nicht assoziativ, das heißt für nichtleere Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} und $C$ gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \times \left( B \times C \right) \neq \left( A \times B \right) \times C}

Zugleich wird die kanonische Bijektion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b: A \times \left( B \times C \right) \to \left( A \times B \right) \times C, \quad (a, (b,c)) \mapsto ((a,b),c)} erwähnt. Diese wird von verschiedenen Autoren zum Anlass genommen, das kartesische Produkt sehr wohl als assoziativ zu bezeichnen; als natürlich nicht erschöpfendes Beispiel kann dieses Skript (S. 11) gelten. (Grigorian verwendet also eine Tupelgleichheit modulo Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} .) Es sollte zumindest im Artikel erwähnt werden, dass diese Sichtweise vorkommt. --78.51.31.101 14:40, 26. Sep. 2014 (CEST)

Das sehe ich auch so. --Digamma (Diskussion) 15:47, 26. Sep. 2014 (CEST)

Ich habe einen Satz zur alternativen Sichtweise ergänzt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:09, 7. Okt. 2014 (CEST)

Bildtext Zurodnungen

Das kartesische Produkt zweier Mengen besteht aus allen möglichen geordneten Paaren von Elementen der Mengen.

Der Text stimmt nicht. Ein "mögliches geordnetes Paar" wäre auch (x,a), es ist aber nicht in {a,b,c} × {x,y}. TiHa (Diskussion) 19:49, 23. Aug. 2018 (CEST)

Das Bild dient ja der Illustration der Definition. Die Bildbeschreibung soll nicht die Definition ersetzen. --Digamma (Diskussion) 20:28, 23. Aug. 2018 (CEST)

Widerspruch

Die Definitionen in den Abschnitten 1.1 und 2.1 widersprechen sich: Geordnete Paare sind keine 2-Tupel. --Hersilie (Diskussion) 11:35, 3. Nov. 2018 (CET)

Definitionen können sich nicht widersprechen. Es kann höchstens sein, dass verschiedene Definitionen eines Konzepts, die zugleich angenommen werden, bewirken, dass es kein Objekt gibt, das allen genügt.

Wer denkt, geordnete Paare seien keine 2-Tupel, hat irgendetwas wichtiges nicht verstanden und verwechselt wahrscheinlich ungenügende Kodierungen mit relevanten Dingen. --Daniel5Ko (Diskussion) 23:58, 3. Nov. 2018 (CET)

Sicher können sich Definitionen widersprechen: "A ist x" und "A ist nicht x" widerprechen sich. TiHa (Diskussion) 00:30, 4. Nov. 2018 (CET)

Richtig. Ich sprach (bzw.: wollte sprechen; war wohl zu unklar) nur von Definitionen der Form: "ein x ist ein Y, gdw. [blabla]" . --Daniel5Ko (Diskussion) 01:17, 4. Nov. 2018 (CET)

In der mathematischen Fachliteratur wird der genannte Widerspruch vermieden durch Zugrundelegung des bourbakischen Tupel-Begriffs. --Hersilie (Diskussion) 07:35, 4. Nov. 2018 (CET)

Was ist denn der bourbakische Tupel-Begriff und auf welche mathematische Fachkliteratur berufst du dich?

Ich habe mal nachgeschaut, was in dem Mengenlehrebuch von Kunen steht (Kenneth Kunen: Set Theory, North Holland 1980). Dort steht auf Seite 21:

7.22 Definition. For each Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x_0,\ldots,x_{n-1} \rangle} is the function Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} with domain Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} such that Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle s(0)=x_{0},s(1)=x_{1},\dotsc ,s(n-1)=x_{n-1}} .

In the case Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n = 2} , this definition of Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x, y \rangle} is inconsistent with the definition of ordered pair in §6. The more elementary definition, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x, y\rangle = \{\{x\}, \{x,y\}\}} is convenient while developing basi properties of functions and relations, while Definition 7.22 becomes more useful when we wish to handle finite swquences of various finite length. In those few cases when it makes a difference which definition of Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle x, y \rangle} is intended, we shall say so explicitly.

Meine Schlussfolgerung: Im Allgemeinen kümmert es Mathematiker überhaupt nicht, dass es hier einander widersprechende Definitionen gibt. --Digamma (Diskussion) 19:14, 6. Nov. 2018 (CET)

@Digamma

Zu deiner Frage.

• Nicolas Bourbaki: Éléments de mathématiques. Théorie des Ensembles.
• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre
• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre.

Deine Schlußfolgerung halte ich für bedenklich --Hersilie (Diskussion) 10:59, 7. Nov. 2018 (CET)

Hersilie, ich habe selbst bei Herrn Ebbinghaus Vorlesungen gehört. Ich bin mir sicher, dass er nicht deiner Meinung ist. Die mengentheoretische Definition mathematischer Objekte dient nur dazu, zu zeigen, dass es solche Objekte (mit den gewünschten Eigenschaften) gibt. Sie dient aber nicht dazu, zu definieren, was diese Objekte wirklich sind. --Digamma (Diskussion) 18:31, 7. Nov. 2018 (CET)

Digamma, habe ich eine Meinung geäußert? Der Name Ebbinghaus wurde von mir auf deine Frage nach dem bourbakische Tupel-Begriff genannt. --Hersilie (Diskussion) 09:14, 8. Nov. 2018 (CET)

Was sind denn die zwei Aussagen, die sich deiner Meinung nach widersprechen? TiHa (Diskussion) 08:45, 4. Nov. 2018 (CET)

Allgemeine Definition des Kartesischen Produktes

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} eine Funktion, deren Elemente im Wertebereich Klassen sind, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^{\times}:=\{t\mid \text{Fkt}(t)\land \text{D}_t=\text{D}\!_f\land \forall x\in\text{D}\!_f: t(x)\in f(x)\}} ein Kartesiches Produkt. Ist z.B. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{D}_f=\{i\}_{i=1}^n} , $n>1$, dann schreibt man üblicherweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^{\times}} so: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(1)\!\times\cdots f(n)} . --Hersilie (Diskussion) 09:08, 6. Nov. 2018 (CET)

Nochmals Widerspruch

Innerhalb einer mathematischen Abhandlung sich widersprechende Definitionen zuzulassen ist m.E. mehr als nur bedenklich.
Dem oben genannten Widerspruch entgeht man z.B. durch Benutzung der hier gegebenen Definition oder der alternativen Tupeldefinition. --Hersilie (Diskussion) 17:01, 25. Dez. 2018 (CET)

Verwendung es Begriffs "Klasse"

Im letzten Satz der Definition ist die Rede von "Klassen" und "echten Klassen". Wo sind diese Begriffe erklärt? (nicht signierter Beitrag von Hellerim (Diskussion | Beiträge) 00:19, 13. Jan. 2020 (CET))

Ich habe den Begriff jetzt wenigstens mal verlinkt. Danke für den Hinweis! -- HilberTraum (d, m) 19:42, 13. Jan. 2020 (CET)

Anfrage

Gilt die Aussage "Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_1 \times \dotsb \times A_n=\{(a_1, \dotsc,a_n)\mid a_1\in A_1\land\cdots a_n\in A_n\}} " für alle Terme Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_i} die Mengen bezeichnen? --Hersilie (Diskussion) 17:26, 19. Jul. 2020 (CEST)

PS: Sind die Elemente von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R\times\N^2} 2-Tupel oder 3-Tupel? --Hersilie (Diskussion) 12:19, 23. Jul. 2020 (CEST)

Ich beantworte die Frage selbst: Es sind 2-Tupel, sonst hätte man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R\times\N^{2\times}} geschrieben. --Hersilie (Diskussion) 10:46, 23. Aug. 2020 (CEST)