Diskussion:Satz von Mittag-Leffler

== Erläuterung zuhttp://de.wikipedia.org/skins-1.5/common/images/button_math.png Mathematische Formel (LaTeX)m Hauptteil ==

Ich fand es für die Verständlichkeit wichtig, den Teil mit dem vorgegebenen Hauptteil etwas zu erläutern. Hoffe so stimmt es jetzt. --Xario 15:25, 1. Sep. 2007 (CEST)

Nein, der Hauptteil muss eben kein Polynom in ${\frac {1}{z-p_{n}}}$ sein, denn ein Polynom hat per definitionem endlichen Grad; bei einem Hauptteil wird dies eben gerade nicht gefordert. Der Artikel ist ein Stub und sollte ausgebaut werden, durch eine falsche Erläuterung wird er aber nicht besser. --Enlil2 22:06, 1. Sep. 2007 (CEST)

Doch, die Erläuterung ist jetzt deckungsgleich mit dem Satz im Jänich, beim ersten Versuch hatte ich offenbar gepennt. Allerdings ist er nur für ganz C (ohne die Polstellen) erklärt und nicht für kleinere Gebiete, im Artikel ist das noch gar nicht weiter spezifiziert. Eine meromorphe Funktion hat stets höchstens Pole. Die Laurentreihe auf einer gelochten Kreisscheibe um den Pol hat genau Ordnung-des-Pols-viele Glieder im Hauptteil. Sobald der Hauptteil bei einer gelochten-Kreisscheiben-Laurentreihe unendlich-viele Glieder hat, ist die Singularität wesentlich und damit die Funktion nicht meromorph :-) --Xario 22:13, 2. Sep. 2007 (CEST)

Habs nochmal recherchiert: Im Feitag-Busam wird gesagt, man kann zu jeder Singularität eine ganze Funktion $H_{n}$ mit$H_{n}(0)=0$ wählen zu jedem $p_{n}$ (Also eine auf ganz C konvergente Potenzreihe ohne konst. Term.) und der Haupteil ist dann gerade H_n (1/z-p_n). Allerdings sagt er auch, dass die Funktion die dann nach dem Satz von ML existiert nur analytisch ist auf C\Singularitätenmenge und nicht meromorph.

Jänich sagt wie unser Lemma: die Funktion die existiert ist meromorph und es können Polynome ohne konstanten Term gewählt werden (also eine echte Teilmenge der obigen Potenzreihen).

Ich habe mir überlegt, dass die Laurentreihe um einen der $p_{n}$ sowieso nur die lokale Gestalt ist und sich analytische Funktionen auf einer festen Kreisscheibe beliebig gut durch Polynome approximieren lassen. Folgerung: Der Artikel sollte nach dem Jänich gehen (weil die bekannten Beispiele eben gerade meromorphe Funktionen sind.) und unten noch erwähnen, dass eine allgemeinere Fassung existiert. Außerdem würde ich in den nächsten Tagen noch ein paar Einzelheiten zu den im Beweis auftauchenden "konvergenzverbessernden Summanden" reinschreiben sowie ein Beispiel bringen, pi^2/sin^2(pi z) oder so... --Xario 19:42, 6. Sep. 2007 (CEST)

Häufungspunkt

Ich möchte hier kurz die Diskussion anstoßen, ob die Formulierung "diskrete Folge" als Vorraussetzung im Satz wirklich ausreicht. Nach dem Artikel über Diskrete Teilmengen dürfen sich diese häufen, solange der Häufungspunkt selbst nicht Teil der Menge ist. (siehe Beispiel unter "Diskrete Teilmengen der reellen Zahlen") Solch eine Vorraussetzung ist aber für den Satz von Mittag-Leffler nicht ausreichend, da sich die Folge der Polstellen in C nicht häufen darf. Ob der HP dabei selbst ein Pol ist oder nicht, spielt dabei keine Rolle. Damit der Häufungspunkt nicht in C liegt, müsste man ihn logischerweise auf dem Rand plazieren. Also: $(p_{n})\rightarrow \infty$, so wie es normalerweise auch in der Literatur gehandhabt wird. (Alternativ kann man auch nur einen Teil von C benutzen um "mehr Rand" zu bekommen.)-- ReallyNoName 17:32, 16. Sep. 2011 (CEST)

Hmja, ich hab jetzt den Jänich hier, der formuliert den Satz für ganz C und beginnt mit: "Sei (a_n) eine Folge paarweise verschiedener komplexer Zahlen, die keinen Haufungswert hat...." Im folgenden Beweis folgert er genau daraus: lim (n to infty) a_n = infty. Das sieht für mich jetzt so aus, als hättest du Recht, die falsche Formulierung basierte auf ner Verwechslung von Häufungspunkt und -wert. My bad, willst du revertieren? --χario 18:34, 16. Sep. 2011 (CEST)

Hmnein, im Freitag-Busam fängt der Satz so an: "Sei S eine diskrete (endliche oder unendliche) Teilmenge der komplexen Zahlen..." (S ist nat. die Menge der Polstellen)... ich weiß auch grad nicht weiter, werd nochn bisschen grübeln und recherchen.

PS: Der engl. WP-Artikel schreibt diskret und abgeschlossen, das tut das eklige "1/n ohne Null" elegant ausschließen.... --χario 19:02, 16. Sep. 2011 (CEST)

Update

Also, du hast (nat.) Recht und ich hab den Artikel jetzt umformuliert. Mein Knackpunkt war, dass der FB diskrete Teilmenge definiert als "Die Obermenge enthält keinen Häufungspunkt der Teilmenge", das ist strenger als landläufig.

Frage: Generell kann man doch sagen: Wenn sich die Polstellen einer Funktion in einem Punkt z \in C häufen, dann kann die Funktion in z nichts anderes als eine wesentliche Singularität haben, oder? Steht das auch irgendwo, sonst wärs son bisschen original research... --χario 01:48, 4. Nov. 2011 (CET)