Eikonal

Als Eikonal (Altgriechisch εἰκών eikon = Bild, Abbild) wird in der geometrischen Optik die Strecke eines Lichtstrahls zwischen Ausgangs- und Endpunkt bezeichnet; mittlerweile bezeichnet der Begriff meist das Bruns-Eikonal.

Bruns-Eikonal

Das Bruns-Eikonal oder Brunssche Eikonal ist eine Funktion, die gemäß dem Fermatschen Prinzip den kürzesten Weg zwischen zwei durch optische Medien getrennten Punkten beschreibt. Sie wurde vom deutschen Mathematiker Heinrich Bruns 1895 veröffentlicht und in der Strahlenoptik benutzt. Der Name Eikonal stammt von Bruns, das Verfahren war aber schon William Rowan Hamilton bekannt, der es charakteristische Funktion nannte (Hamilton-Jacobi-Gleichung) und in Optik und Mechanik anwandte.

Das Bruns-Eikonal wird bei akustischen Wellen und anderen Wellenphänomenen angewendet, z. B. in der Seismologie zur Berechnung der Ausbreitung seismischer Wellen.

Herleitung

Nachfolgend soll die Eikonalgleichung als Hochfrequenzapproximation der akustischen Wellengleichung hergeleitet werden. In der Quantenmechanik wird ein ähnliches Verfahren verwendet, die semiklassische WKB-Näherung.

Wir gehen also von der akustischen Wellengleichung mit dem Druck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} , dem Ortsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}} , der ortsabhängigen Ausbreitungsgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c=c(\vec{x})} und konstanter Dichte aus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla^2 p - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 p}{\partial t^2} = 0 }

Gesucht ist ein zeitlich harmonischer Hochfrequenzansatz, für den eine frequenz- und zeitunabhängige Amplitude Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(\vec{x})} und die Laufzeitfunktion $\phi ({\vec {x}})$ angenommen werden kann. Sie hat die Form

$p({\vec {x}},t)=P({\vec {x}})e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}$

Zunächst berechnet man die Zeitableitungen der Wellengleichung:

${\frac {\partial p}{\partial t}}=\mathrm {i} \omega P({\vec {x}})e^{i\omega (t-\phi ({\vec {x}}))};\quad {\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=-\omega ^{2}P({\vec {x}})e^{i\omega (t-\phi ({\vec {x}}))}$

Nun folgen die Ortsableitungen:

$\nabla p=\nabla Pe^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}-\mathrm {i} \omega Pe^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}\nabla \phi =(\nabla P-\mathrm {i} \omega P\nabla \phi )e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}$

Wegen der vektoriellen Identität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla \cdot \left(a(\vec{x})\vec{b}(\vec{x})\right) = \nabla a(\vec{x}) \cdot \vec{b}(\vec{x})\ + a(\vec{x}) \nabla \cdot \vec{b}(\vec{x})} gilt weiter:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla^2p = \nabla \cdot \nabla p }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \nabla \cdot (\nabla P - \mathrm i\omega P\nabla\phi)e^{\mathrm i\omega(t-\phi(\vec{x}))} + (\nabla P - \mathrm i\omega P\nabla\phi) \cdot\nabla e^{\mathrm i \omega(t-\phi(\vec{x}))} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle = \left( \nabla^2P-\mathrm i\omega\nabla P \cdot \nabla\phi - \mathrm i\omega P\nabla^2\phi -\mathrm i\omega(\nabla P - \mathrm i\omega P\nabla\phi) \cdot \nabla\phi \right)e^{\mathrm i\omega(t-\phi(\vec{x}))} }

$=\left(\nabla ^{2}P-2\mathrm {i} \omega \nabla P\cdot \nabla \phi -\mathrm {i} \omega P\nabla ^{2}\phi -\omega ^{2}P(\nabla \phi )^{2}\right)e^{\mathrm {i} \omega (t-\phi ({\vec {x}}))}$

Die beiden Ableitungen in die Wellengleichung eingesetzt ergeben nach Division durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{\mathrm i\omega(t-\phi(\vec{x}))} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\omega^2 P \left( (\nabla \phi)^2- \frac{1}{c^2} \right) - \mathrm i \omega \left( 2\nabla P \cdot \nabla \phi + P \nabla^2 \phi \right) + \nabla^2P = 0. }

Eine Division durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\omega^2 P} führt dann zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( (\nabla \phi)^2- \frac{1}{c^2} \right) + \frac{\mathrm i}{\omega P} \left( 2 \nabla P \cdot \nabla \phi + P \nabla^2\phi \right) - \frac{1}{\omega^2 P} \left( \nabla^2P \right) = 0. }

Da Real- und Imaginärteil der Gleichung unabhängig voneinander gleich null sein müssen, folgt:

$\left((\nabla \phi )^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\right)-{\frac {1}{\omega ^{2}P}}\left(\nabla ^{2}P\right)=0$

Bei der Näherung geht man davon aus, dass die Amplitude Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} nur schwach ortsabhängig, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla^2P} also beschränkt ist. Da gleichzeitig weder die Laufzeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi} noch die Amplitude Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} frequenzabhängig sind, ist der zweite Term für sehr hohe Frequenzen klein gegenüber dem ersten Term und die Gleichung vereinfacht sich auf:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\nabla \phi \right)^2=\frac{1}{c^2} }

Die Lösung $\phi ({\vec {x}})$ der Eikonalgleichung ordnet jedem Punkt im Ortsraum die Laufzeit der Welle zu. Linien gleicher Laufzeit lassen sich entsprechend als Wellenfronten interpretieren.