Dirac-Verteilung
Die Dirac-Verteilung, manchmal auch Punktverteilung, deterministische Verteilung, Einheitsmasse[1] oder degenerierte Verteilung genannt, ist eine spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik. Sie zählt zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Ihr Name folgt daher, dass sie aus dem Diracmaß abgeleitet wird. Sie ist meist nur von theoretischer Bedeutung und spielt eine wichtige Rolle in der Klassifikation der unendlich teilbaren Verteilungen.
Definition
Eine reelle Zufallsvariable heißt Dirac-verteilt zum Punkt , in Symbolen , wenn sie die Verteilungsfunktion
besitzt. Die Verteilung von ist also genau das Diracmaß im Punkt , das heißt für alle messbaren Mengen gilt
Die Zufallsvariable nimmt insbesondere fast sicher den Wert an, worauf der Name deterministische Verteilung zurückzuführen ist.
Eigenschaften
Lagemaße
Erwartungswert, Modus und Median fallen alle zusammen und sind gleich dem Punkt
Streumaße
Varianz, Standardabweichung und Variationskoeffizient fallen zusammen und sind alle gleich
Symmetrie
Die Dirac-Verteilung ist symmetrisch um .
Höhere Momente
Die Momente sind gegeben durch
Entropie
Die Entropie der Dirac-Verteilung ist 0.
Kumulanten
Die kumulantenerzeugende Funktion ist
- .
Damit ist und alle weiteren Kumulanten sind gleich 0.
Charakteristische Funktion
Die charakteristische Funktion ist
Momenterzeugende Funktion
Die momenterzeugende Funktion ist
Reproduktivität, α-Stabilität und unendliche Teilbarkeit
Die Klasse der Dirac-Verteilungen ist reproduktiv, da die Summe Dirac-verteilter Zufallsvariablen wieder Dirac-verteilt ist, da für die Faltung
gilt. Des Weiteren sind Dirac-Verteilungen α-stabile Verteilungen mit . Teilweise werden aber Dirac-Verteilungen explizit von der Definition der α-Stabilität ausgeschlossen. Außerdem sind Dirac-Verteilungen unendlich teilbar, da gilt.
Beziehung zu anderen Verteilungen
Die Dirac-Verteilung tritt meist als degenerierter Fall bei schlechter Parameterwahl von anderen Verteilungen auf. Beispielsweise sind die Bernoulli-Verteilung, die Zweipunktverteilung und die Binomialverteilung alles Dirac-Verteilungen, wenn man wählt. Des Weiteren ist auch die diskrete Gleichverteilung auf einem Punkt eine Dirac-Verteilung.
Literatur
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
- Hans-Otto Georgii: Stochastik. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274.
Einzelnachweise
- ↑ Georgii: Stochastik. 2009, S. 14.
