Fermi-Dirac-Integral

In der statistischen Physik wird das Fermi-Dirac-Integral (nach Enrico Fermi und Paul Dirac), mit Index $j$ definiert als

$F_{j}(x)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{j}}{\exp(t-x)+1}}\,\mathrm {d} t$

wobei $\Gamma (\cdot )$ die Gammafunktion ist. Wird die untere Grenze des Integrals als Argument der Funktion angegeben

$F_{j}(x,b)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{b}^{\infty }{\frac {t^{j}}{\exp(t-x)+1}}\,\mathrm {d} t$

dann spricht man vom unvollständigen Fermi-Dirac-Integral.

Anwendung für F_1/2

Die Funktion tritt unter anderem auf in der Festkörperphysik im Zusammenhang mit der Aufenthaltsverteilung von Elektronen im Kristallgitter. Dort muss oft das Integral $F_{1/2}(x)$ berechnet werden (siehe: Zustandsdichte). Substituiere beim zweiten Gleichheitszeichen $t:={\tfrac {E-E_{c}}{kT}}$ sowie $x:={\tfrac {\mu -E_{c}}{kT}}$, sodass $\mathrm {d} E=kT\,\mathrm {d} t$:

$n=N\int _{E_{c}}^{\infty }{\frac {\sqrt {E-E_{c}}}{\exp \left({\frac {E-\mu }{kT}}\right)+1}}\,\mathrm {d} E=N\left(kT\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sqrt {t}}{\exp \left(t-x\right)+1}}\,\mathrm {d} t=N\left(kT\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}F_{1/2}(x)$

Näherung für F_1/2

Das Integral $F_{1/2}(x)$ lässt sich für verschiedene Wertebereiche von $x$ näherungsweise lösen:

${\tilde {F}}_{1/2}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{e^{-x}+0{,}27}}&{\text{wenn }}\ -\infty <x<1{,}3\\{\frac {4}{3{\sqrt {\pi }}}}\left(x^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)^{3/4}&{\text{wenn }}\ \,1{,}3\leq x<\infty \end{cases}}$

Der relative Fehler dieser Näherungslösung $\left({\tilde {F}}_{1/2}(x)-F_{1/2}(x)\right)/F_{1/2}(x)$ beträgt maximal 3 % (maximale Abweichung bei $x=0$ und bei $x=1{,}3$). Für große Entfernung vom Ursprung lässt sich $F_{1/2}(x)$ durch zwei Funktionen annähern:

$F_{1/2}(x)\approx e^{x}$   für   $-x\gg 1$

$F_{1/2}(x)\approx {\frac {4}{3{\sqrt {\pi }}}}x^{3/2}$   für   $x\gg 1$

Darstellung mit Polylogarithmen

Mittels des Polylogarithmus kann das Fermi-Dirac-Integral dargestellt werden als

$\mathrm {F} _{j}(x)=-\mathrm {Li} _{j+1}(-e^{x})$.

Wegen

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {Li} _{n}(x)={\frac {1}{x}}\mathrm {Li} _{n-1}(x)$

folgt daraus

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {F} _{j}(x)=\mathrm {F} _{j-1}(x)$.

Weblinks

• GNU Scientific Library - Reference Manual

Literatur

• J. S. Blakemore: Approximations for Fermi-Dirac Integrals. Solid-State Electronics, 25(11):1067-1076, 1982.