Gebrochene Brownsche Bewegung

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Die gebrochene Brownsche Bewegung oder auch fraktionale Brownsche Bewegung ist eine Klasse von zentrierten Gauß-Prozessen , welche durch die folgende Kovarianzfunktion charakterisiert sind:

wobei H eine reelle Zahl in (0, 1) ist. H wird häufig der Hurst-Parameter genannt. Für H=1/2 ist die gebrochene Brownsche Bewegung eine eindimensionale Brownsche Bewegung.

Eigenschaften

Selbstähnlichkeit

ist selbstähnlich. Genauer gilt, dass die Prozesse und für jedes feste c >0 dieselbe Verteilung besitzen.

Stationäre Inkremente

Aus der Darstellung der Kovarianzfunktion folgt direkt die Beziehung

Insbesondere sind die Inkremente also stationär. Außerdem gilt:

  • falls H = 1/2, so hat der Prozess unabhängige Inkremente;
  • falls H > 1/2, so sind die Inkremente positiv korreliert;
  • falls H < 1/2, so sind die Inkremente negativ korreliert.

Pfadeigenschaften

Die Pfade der gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H sind Hölder-stetig mit Index für jedes .

Stochastische Integration

Es ist möglich, stochastische Integrale bezüglich der gebrochenen Brownschen Bewegung zu definieren.

Siehe auch

Weblinks

Quellen