Gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit und Anfangsweg null: Aufgetragen sind Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung als Funktionen der Zeit.

Ein durch die Erdbeschleunigung gleichmäßig nach unten beschleunigter Ball

Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist eine Bewegung, bei der die Beschleunigung bezüglich Stärke und Richtung konstant ist. Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ist eine geradlinige Bewegung, wenn Beschleunigung und Anfangsgeschwindigkeit kollinear sind. Ist dies nicht der Fall, entsteht eine Parabel als Bahnkurve. Durch die Wahl eines Inertialsystems, in dem die Anfangsgeschwindigkeit null ist, erhält man stets eine geradlinige Bewegung. Wenn die Beschleunigung zu null wird, erhält man die gleichförmige Bewegung.

Beispiele für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung sind der freie Fall oder der schräge Wurf ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes.

Gesetze

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Ablesen der Beschleunigung a bei einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung im Steigungsdreieck.

Sofern die gleichmäßig beschleunigte Bewegung geradlinig ist, kann man für Berechnungen Zahlen (Skalare) statt Vektoren verwenden (Skalarform). Es genügt, die Orientierung des Geschwindigkeits- und des Beschleunigungsvektors durch das Vorzeichen auszudrücken. Eine Richtung (meist die Bewegungsrichtung) wird als positiv ausgezeichnet, die Gegenrichtung als negativ.

Verläuft die gleichmäßig beschleunigte Bewegung nicht geradlinig, so ist die allgemeinere Vektorform zu verwenden. Es gelten folgende Gesetze:

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
		Skalarform		Vektorform
notwendige Bedingung		Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = \text{const.}}		Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a} = \text{const.}}
Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz		Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(t) = \dot{s}(t) = a t + v_0}		Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}(t) = \dot{\vec{s}}(t) = \vec{a} t + \vec{v}_0}
Weg-Zeit-Gesetz		$s(t)={\frac {a}{2}}t^{2}+v_{0}t+s_{0}$		${\vec {s}}(t)={\frac {\vec {a}}{2}}t^{2}+{\vec {v}}_{0}t+{\vec {s}}_{0}$
verwendete Formelzeichen
$a,{\vec {a}}$	Beschleunigung		$\left[{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}\right]$	${\begin{aligned}{\vec {a}}&={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {v}}}(t)\\&={\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {s}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}={\ddot {\vec {s}}}(t)\end{aligned}}$
$s(t),{\vec {s}}(t)$	Position zum Zeitpunkt $t$		$\left[{\text{m}}\right]$
$s_{0},{\vec {s}}_{0}$	Anfangsposition (Anfangsweg) zum Zeitpunkt $t=0$		$\left[{\text{m}}\right]$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{s}_0 = \vec{s}(t=0)}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t}	Zeit		Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[ \text{s} \right]}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(t), \vec{v}(t)}	Geschwindigkeit zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t}		Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[ \frac{\text{m}}{\text{s}} \right]}	${\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {s}}(t)}{\mathrm {d} t}}={\dot {\vec {s}}}(t)$
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_0, \vec{v}_0}	Anfangsgeschwindigkeit zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = 0}		Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \left[{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\right]}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}_0 = \vec{v}(t=0)}

Herleitung

Aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\vec{v}} = \vec{a}}

erhält man bei konstanter Beschleunigung durch Integration eine linear von der Zeit abhängige Geschwindigkeit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}=\vec{a} t + \vec{v}_{0}} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}_{0}} die Integrationskonstante ist, welche die Anfangsgeschwindigkeit beinhaltet.

Die Geschwindigkeit entspricht der ersten Ableitung der Position nach der Zeit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\vec{s}}=\vec{v}=\vec{a} t + \vec{v}_{0}.}

Durch anschließende Integration erhält man das Weg-Zeit-Gesetz:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{s}(t) = \frac{\vec{a}}{2} t^2 + \vec{v}_0 t + \vec{s}_0 \text{,}}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{s}_0} die Anfangsposition ist.

Die Gleichungen für die Geschwindigkeit sowie die Position lauten somit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} &\vec{v}(t) = \vec{a} t + \vec{v}_0 \\ &\vec{s}(t) = \frac{\vec{a}}{2} t^2 + \vec{v}_0 t + \vec{s}_0 \end{align}}

Weblinks

Wikibooks: Formelsammlung Klassische Mechanik – Lern- und Lehrmaterialien