Konvergente Mengenfolge

Eine konvergente Mengenfolge ist eine Mengenfolge, für die der Limes superior und der Limes inferior der Mengenfolge übereinstimmen. Konvergente Mengenfolgen treten beispielsweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie auf.

Definition

Gegeben sei eine Mengenfolge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A_n)_{n \in \N} } aus einer Grundmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega } . Der Limes superior der Mengenfolge

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \limsup_{n \to \infty} A_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right)}

ist die Menge aller Elemente aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} , die in unendlich vielen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_n} liegen. Der Limes inferior der Mengenfolge

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \liminf_{n \to \infty} A_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right)}

ist die Menge aller Elemente aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} , die in fast allen (d. h. in allen bis auf endlich vielen) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_n} liegen.

Die Mengenfolge heißt dann konvergent, wenn ihr Limes inferior und ihr Limes superior übereinstimmen, also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \limsup_{n \to \infty} A_n=\liminf_{n \to \infty} A_n }

ist.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty}A_n:= \limsup_{n \to \infty} A_n=\liminf_{n \to \infty} A_n }

heißt dann der Limes der Mengenfolge oder Grenzwert der Mengenfolge. Man sagt dann, dass die Mengenfolge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A_n)_{n \in \N } } gegen $\lim _{n\to \infty }A_{n}$ konvergiert.

Beispiele

Als Beispiel betrachten wir die Mengenfolge

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_n : = [0; 1{,}5+ 0{,}5(-1)^n] } .

Für beliebiges Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n } ist immer

$\bigcap _{m=n}^{\infty }A_{m}=[0;1]{\text{ und }}\bigcup _{m=n}^{\infty }A_{m}=[0;2]$.

Somit ist

$\liminf _{n\to \infty }A_{n}={\bigcup _{n=1}^{\infty }}[0;1]=[0;1]\neq [0;2]={\bigcap _{n=1}^{\infty }}[0;2]=\limsup _{n\to \infty }A_{n}$.

Somit stimmen Limes superior und Limes Inferior nicht überein, die Mengenfolge konvergiert also nicht.

Konvergenz monotoner Mengenfolgen

Monoton fallende Mengenfolgen, also solche mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_1 \supset A_2 \supset A_3 \cdots } und monoton wachsende Mengenfolgen, also solche mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_1 \subset A_2 \subset A_3 \cdots } , konvergieren immer. Eine Mengenfolge $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert gegen

$\lim _{n\to \infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}$,

wenn sie monoton fallend ist, und gegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} A_n= \bigcup_{n=1}^\infty A_n } ,

wenn sie monoton wachsend ist. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A } der Grenzwert einer monoton fallende Folge, so schreibt man auch $A_{n}\downarrow A$. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A } der Grenzwert einer monoton wachsenden Folge, so schreibt man auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_n \uparrow A } .

Siehe auch

• Hausdorff-Konvergenz

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.