Hilbert-Funktion
In der algebraischen Geometrie gibt die Hilbert-Funktion Informationen über die Anzahl der Hyperflächen zu einem gegebenen Grad. Für hinreichend große Argumente stimmt sie mit einem als Hilbert-Polynom bezeichneten Polynom überein.
Hilbert-Funktion
Sei eine projektive Varietät mit Verschwindungsideal
- .
Für sei
der homogene Anteil vom Grad . Der Koordinatenring ist dann ein graduierter Ring
mit .
Die Dimension von gibt die Anzahl der unabhängigen, enthaltenden Hyperflächen vom Grad . Die Hilbert-Funktion ist definiert durch
- ,
sie gibt also die Kodimension von .
Beispiele
- Sei . Dann ist für alle .
- Sei . Dann ist und für alle .
- Sei eine aus Punkten bestehende Menge. Dann ist für .
- Sei eine durch ein homogenes Polynom vom Grad gegebene Kurve. Dann ist für .
Hilbert-Polynom
Satz: Zu jeder projektiven Varietät gibt es ein Polynom vom Grad , so dass
- für alle hinreichend großen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d\in\Z} gilt.
Das Polynom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_X} heißt das Hilbert-Polynom der Varietät Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} .
Siehe auch
Literatur
- D. Eisenbud: Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer-Verlag New York, ISBN 0-387-94268-8