Hodge-Struktur

In der Mathematik ist eine Hodge-Struktur eine algebraische Struktur, die die Hodge-Zerlegung der Kohomologie kompakter Kähler-Mannigfaltigkeiten verallgemeinert. Hodge-Strukturen haben vielfältige Anwendungen in komplexer und algebraischer Geometrie.

Definitionen

Eine Hodge-Zerlegung eines reellen Vektorraums $V$ ist eine Zerlegung

$V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\bigoplus _{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}V^{p,q}$

mit ${\overline {V^{q,p}}}=V^{p,q}$ für alle $p,q$.

Eine Hodge-Struktur ist ein reeller Vektorraum zusammen mit einer Hodge-Zerlegung.

Eine reine Hodge-Struktur vom Gewicht $n$ ist eine Hodge-Struktur mit

$V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\bigoplus _{p+q=n}V^{p,q}.$

Allgemein hat man für eine Hodge-Struktur eine Gewichtszerlegung

$V=\bigoplus _{n}V_{n}$

mit $V_{n}=\bigoplus _{p+q=n}V^{p,q}.$

Eine ganze Hodge-Struktur (bzw. rationale Hodge-Struktur) ist ein endlich erzeugter freier $\mathbb {Z}$-Modul (bzw. ein endlich erzeugter $\mathbb {Q}$-Vektorraum) $A$ mit einer Hodge-Zerlegung von $V=A\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R}$ (bzw. $V=A\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$), so dass die Gewichtszerlegung über $\mathbb {Q}$ definiert ist.

Beispiele

Hodge-Tate-Strukturen

Z(n)

$\mathbb {Z} (1)$ ist die ganze Hodge-Struktur mit $\mathbb {Z}$-Modul

$2\pi i\mathbb {Z} \subset \mathbb {C}$

und $\mathbb {Z} (1)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =H^{-1,-1}$. Sie ist die einzige 1-dimensionale Hodge-Struktur vom Gewicht -2.

Mit $\mathbb {Z} (n)$ wird das $n$-fache Tensorprodukt

$\mathbb {Z} (n):=\mathbb {Z} (1)\otimes \ldots \otimes \mathbb {Z} (1)$

bezeichnet.

Q(n)

$\mathbb {Q} (1)$ ist die rationale Hodge-Struktur mit $\mathbb {Q}$-Vektorraum

$2\pi i\mathbb {Q} \subset \mathbb {C}$

und $\mathbb {Q} (1)\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {C} =H^{-1,-1}$. $\mathbb {Q} (n)$ ist das $n$-fache Tensorprodukt $\mathbb {Q} (n):=\mathbb {Q} (1)\otimes \ldots \otimes \mathbb {Q} (1)$.

R(n)

$\mathbb {R} (1)$ ist die Hodge-Struktur mit $\mathbb {R}$-Vektorraum

$i\mathbb {R} \subset \mathbb {C}$

und $\mathbb {R} (1)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =H^{-1,-1}$. $\mathbb {R} (n)$ ist das $n$-fache Tensorprodukt $\mathbb {R} (n):=\mathbb {R} (1)\otimes \ldots \otimes \mathbb {R} (1)$.

Hodge-Zerlegungs-Satz für Kähler-Mannigfaltigkeiten

Die Kohomologie einer kompakten Kähler-Mannigfaltigkeit $M$ trägt eine Hodge-Struktur: nach dem Satz von Hodge kann man die $n$-te Kohomologie $H^{n}(M;\mathbb {R} )$ mit dem Raum der harmonischen Differentialformen ${\mathcal {H}}^{n}(M)$ identifizieren und es gilt

${\mathcal {H}}^{n}(M)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =\bigoplus _{p+q=n}{\mathcal {H}}^{p,q}(M)$

wobei ${\mathcal {H}}^{p,q}(M)$ die harmonischen (p,q)-Formen bezeichnet. Es gilt ${\overline {{\mathcal {H}}^{p,q}(M)}}={\mathcal {H}}^{q,p}(M)$.

Hodge-Filtrierung

Zu einer reinen Hodge-Struktur vom Gewicht $n$ bezeichnet man die Filtrierung

$\ldots \supset F^{p}\supset F^{p+1}\supset \ldots$

mit

$F^{p}=\bigoplus _{r\geq p}V^{r,s}\subset V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$

als zugehörige Hodge-Filtrierung.

Die Hodge-Filtrierung bestimmt die Hodge-Zerlegung durch

$V^{p,q}=F^{p}\cap {\overline {F^{q}}}.$

Die Existenz einer reinen Hodge-Zerlegung vom Gewicht $n$ ist also äquivalent zur Existenz einer Filtrierung $(F^{p})_{p\in \mathbb {Z} }$ von $V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ mit $F^{p}=0$ für hinreichend große $p$ und

$F^{p}\oplus {\overline {F^{q+1}}}=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$

für alle $p,q$ mit $p+q=n$.

Literatur

• Wells R. O.: Differential Analysis on Complex Manifolds (3rd ed.), Springer 2008, ISBN 978-0-387-73891-8
• Carlson, James; Müller-Stach, Stefan; Peters, Chris: Period mappings and period domains. 2nd edition. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 168. Cambridge: Cambridge University Press (2017). ISBN 978-1-316-63956-6/pbk; 978-1-108-42262-8/hbk; 978-1-316-99584-6/ebook