Hyperkonvexe Kurve

In der Mathematik sind hyperkonvexe Kurven gewisse Kurven im projektiven Raum, die unter anderem in der Darstellungstheorie von Flächengruppen von Bedeutung sind.

Hyperkonvexe Kurven im projektiven Raum

Sei $n\in \mathbb {N}$. Der projektive Raum Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathbb {R} P^{n-1}=P(\mathbb {R} ^{n})} ist der Raum aller 1-dimensionalen Unterräume des $\mathbb {R} ^{n}$. Eine geschlossene Kurve

$\gamma :S^{1}\rightarrow P(\mathbb {R} ^{n})$

heißt hyperkonvex, wenn für jedes $n$-Tupel $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ paarweise unterschiedlicher Punkte gilt:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\gamma (x_{1})\oplus \ldots \oplus \gamma (x_{n})} ,

mit anderen Worten: wenn kein $\gamma (x_{i})$ in der linearen Hülle der $\gamma (x_{j}),j\not =i$ enthalten ist.

Frenet-Kurven

Eine hyperkonvexe Kurve $\gamma :S^{1}\rightarrow P(\mathbb {R} ^{n})$ heißt Frenet-Kurve, wenn es eine Familie Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (\gamma ^{1},\ldots ,\gamma ^{n-1})} von Abbildungen

$\gamma ^{p}:S^{1}\rightarrow Gr(p,n)$

in die Grassmann-Mannigfaltigkeit $Gr(p,n)$ gibt, so dass

• Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \gamma ^{1}=\gamma }
• für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle l_{1}+\ldots +l_{r}\leq n} und alle $r$-Tupel Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{r})} paarweise unterschiedlicher Punkte ist $\gamma ^{l_{1}}(x_{1})+\ldots +\gamma ^{l_{r}}(x_{r})$ eine direkte Summe
• für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle l_{1}+\ldots +l_{r}\leq n} und für jede gegen $(x,\ldots ,x)$ konvergierende Folge Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (X_{i})_{i\in N}} von r-Tupeln paarweise unterschiedlicher Punkte Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle X_{i}=(x_{1,i},\ldots ,x_{r,i})} ist $\lim _{i\to \infty }\bigoplus _{s=1}^{r}\gamma ^{l_{s}}(x_{s,i})=\gamma ^{l_{1}+\ldots +l_{r}}(x)$.

Man beachte, dass die Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \gamma ^{p}} durch $\gamma$ eindeutig bestimmt sind. Falls Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \gamma \colon S^{1}\to \mathbb {R} ^{n}} beliebig oft differenzierbar ist, dann ist Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \gamma ^{p}(x)} der von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma(x),\gamma^\prime(x),\gamma^{\prime\prime}(x),\ldots,\gamma^{(p-1)}(x)} aufgespannte Unterraum, der Begriff stimmt also mit dem in der Differentialgeometrie gebräuchlichen Begriff einer Frenet-Kurve überein.

Hitchin-Komponente

Die Hitchin-Komponente ist eine Zusammenhangskomponente der Darstellungsvarietät einer Flächengruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1S} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PSL(n,\R)} , siehe Höhere Teichmüller-Theorie, die von Hitchin ursprünglich mit Hilfe von Higgs-Bündeln beschrieben wurde. Einer geometrischen Untersuchung zugänglich wird die Hitchin-Komponente durch folgenden Satz von Labourie:

Wenn eine Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho:\pi_1S\rightarrow PSL(n,\R)} einer Flächengruppe zur Hitchin-Komponente gehört, dann gibt es eine hyperkonvexe Frenet-Kurve

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma:S^1=\partial_\infty \pi_1S\rightarrow P(\R^n)} ,

die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} -äquivariant bzgl. der kanonischen Wirkung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1S} auf ihrem Rand im Unendlichen $\partial _{\infty }\pi _{1}S=S^{1}$ und von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PSL(n,\R)} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(\R^n)} ist. Man kann zeigen, dass jede äquivariante hyperkonvexe Kurve eine Frenet-Kurve ist. (Labourie)

Darstellungen, für die eine äquivariante hyperkonvexe Kurve existiert, werden als hyperkonvexe Darstellungen bezeichnet.

Es gilt auch die Umkehrung: wenn eine Darstellung hyperkonvex ist, dann gehört sie zur Hitchin-Komponente. (Guichard)

Literatur

• François Labourie: Anosov flows, surface groups and curves in projective space. Invent. Math. 165 (2006), no. 1, 51–114. pdf
• Olivier Guichard: Composantes de Hitchin et représentations hyperconvexes de groupes de surface. J. Differential Geom. 80 (2008), no. 3, 391--431 pdf