Kleinwinkelnäherung

Annähernd gleiches Verhalten einiger (trigonometrischer) Funktionen für x → 0

Unter der Kleinwinkelnäherung wird die mathematische Näherung verstanden, bei der angenommen wird, der Winkel $x$ sei so hinreichend klein, dass man seinen Sinus oder Tangens durch den Winkel selbst (in Radiant) und den Kosinus durch $1$ ersetzen kann:

${\begin{aligned}\sin x\approx x\\\tan x\approx x\\\cos x\approx 1\end{aligned}}$

Herleitung

Grundlage dieses Ansatzes ist die jeweilige Maclaurinsche Reihe der Winkelfunktion (siehe auch Taylor-Reihe):

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{120}}\mp \cdots$

$\tan x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2\,x^{5}}{15}}+\cdots$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}\mp \cdots$

Für $|x|\ll 1$ kann man die Summanden mit höherer Potenz von $x$ vernachlässigen gegenüber den vorhergehenden Gliedern, so dass sich die o. g. Näherungen ergeben.

	Beispiele: Sinus-Näherung und Abweichung
$x$ in Grad$^{\circ }$ (deg)	$~~~5{,}0~$	$~~~7{,}5~$	$~~~10{,}0~$
$x$ in Radiant (rad) statt $\sin x$	$~~~0{,}08727=\pi /36$	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ~~~0{,}13090 = \pi/24}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ~~~0{,}1745 = \pi/18}
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Relative Abweichung	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ~~~0{,}13~\%}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ~~~0{,}29~\%}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ~~~0{,}51~\%}

Tabelle der relativen Abweichung bzw. Fehlergrenze der jeweiligen Näherung bei den angegebenen Winkeln:

	Relative Abweichung Sinus, Tangens und Cosinus
Näherung	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \pi / 36 = 5^\circ}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \pi/24 = 7{,}5^\circ}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \pi/18 = 10^\circ}
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Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} statt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tan x}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -0{,}25~\%}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -0{,}6~\%}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1{,}0~\%}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} statt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos x}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ~~~0{,}38~\%}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ~~~0{,}9~\%}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ~~~1{,}5~\%}

Anwendungen

Wichtig ist die Kleinwinkelnäherung besonders in der Physik, wo sich viele Probleme mit Hilfe der Kleinwinkelnäherung analytisch exakt lösen lassen, die ansonsten unter Einbeziehung der Winkelfunktionen zu komplizierten elliptischen Integralen führen würden. Anwendungsbeispiele der Kleinwinkelnäherung sind das mathematische Pendel, die Auswertung der Beugung am Spalt, die paraxiale Optik sowie die Annäherung von Parabel und Kreisbogen bei der Behandlung bei Linsen und Hohlspiegeln in der Nähe der optischen Achse.

Moderate Winkeländerungen > 7°

In der technischen Mechanik ist ebenfalls die Berücksichtigung moderater Winkeländerungen üblich. Um zu vermeiden, dass der Kosinus bei der Kleinwinkelapproximierung komplett herausfällt, wird zusätzlich das zweite Glied der Taylorreihenentwicklung berücksichtigt, sodass gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos(x) \approx 1-\frac{x^2}{2}} .

Ein Anwendungsbeispiel ist die Theorie leicht gekrümmter Schalentragwerke: Da die Krümmung das Tragverhalten maßgeblich beeinflusst, muss diese berücksichtigt werden; gleichzeitig soll die Approximation den Berechnungsaufwand verringern.

Durch die genauere Näherung ergeben sich nun folgende Eigenschaften:

	Relative Abweichung bei
Näherung	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \pi/18 = 10^\circ}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = \pi/9= 20^\circ}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = 2\pi/9= 40^\circ}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1-\frac{x^2}{2}} statt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos x}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ~~~-0{,}0039~\%}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ~~~-0{,}066~\%}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ~~~-1{,}27~\%}

Literatur

• Berthold Schuppar: Elementare Numerische Mathematik. Springer, 2013, ISBN 978-3-322-80307-8, S. 67–70.