Lucas-Lehmer-Test

Ausschnitt von Seite 316 der Arbeit Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques von Édouard Lucas (1878)

Der Lucas-Lehmer-Test ist ein Primzahltest für Mersenne-Zahlen, das heißt für Zahlen der Form $M_{n}=2^{n}-1$. Der Test wird im GIMPS-Projekt (engl.: Great Internet Mersenne Prime Search) – der Suche nach bisher nicht bekannten Mersenne-Primzahlen – angewandt.

Dieser Test beruht auf Eigenschaften der Lucas-Folgen und nicht wie der Lucas-Test auf dem kleinen Fermatschen Satz.

Funktionsweise

Der Lucas-Lehmer-Test ist zum Testen von Mersenne-Zahlen ab $M_{3}$ geeignet. Er basiert ganz wesentlich darauf, dass die Mersenne-Zahlen im Dualsystem (Binärsystem) nur aus lauter Einsen bestehen.

Die Mersenne-Primzahl ist eine Primzahl, die ausschließlich mit der Binärziffer "1" geschrieben wird.
binär	11	111	11111	1111111	1111111111111	11111111111111111	1111111111111111111	1111111111111111111111111111111	…
potenz	22−1	23−1	25−1	27−1	213−1	217−1	219−1	231−1	…
dezimal	3	7	31	127	8.191	131.071	524.287	2.147.483.647	…
Die wichtigste Eigenschaft einer Mersenne-Primzahl: „Die Anzahl der Binärziffern muss eine Primzahl sein.“ Die Mersennezahl $M_{n}$ ist eine Dualzahl, die gerade aus $n$ Einsen besteht (Repunit, Zahlenpalindrom).

Der Lucas-Lehmer-Test funktioniert wie folgt:

Sei $p$ ungerade und prim. Die Folge $S(k)$ sei definiert durch $S(1)=4,S(k+1)=S(k)^{2}-2$.

Dann gilt: $M_{p}=2^{p}-1$ ist genau dann eine Primzahl, wenn $S(p-1)$ durch $M_{p}$ teilbar ist.

Dieser Satz wurde 1930 von Derrick Henry Lehmer gefunden und geht auf Édouard Lucas zurück (siehe Abbildung). Mit Hilfe der Modulo-Funktion mod lässt sich der Satz so formulieren:

Seien $S(1)=4$ und $S(k+1)\equiv S(k)^{2}-2\ mod\ M_{p}$. Dann gilt: $M_{p}$ ist genau dann eine Primzahl, wenn $S(p-1)=0$.

Beispiele

Beispiel 1: Wir prüfen mit diesem Verfahren, ob $M_{5}=2^{5}-1=31$ eine Primzahl ist:

 S(1) = 4
 S(2) = ( 4² - 2) mod 31 =  14 mod 31 = 14
 S(3) = (14² - 2) mod 31 = 194 mod 31 = 8
 S(4) = ( 8² - 2) mod 31 =  62 mod 31 = 0

Da $S(4)=0$ ist, ist $M_{5}=31$ eine Primzahl.

Beispiel 2: Wir prüfen, ob $M_{11}=2^{11}-1=2047$ eine Primzahl ist:

 S( 1) = 4
 S( 2) = (   4² - 2) mod 2047 =      14 mod 2047 = 14
 S( 3) = (  14² - 2) mod 2047 =     194 mod 2047 = 194
 S( 4) = ( 194² - 2) mod 2047 =   37634 mod 2047 = 788
 S( 5) = ( 788² - 2) mod 2047 =  620942 mod 2047 = 701
 S( 6) = ( 701² - 2) mod 2047 =  491399 mod 2047 = 119
 S( 7) = ( 119² - 2) mod 2047 =   14159 mod 2047 = 1877
 S( 8) = (1877² - 2) mod 2047 = 3523127 mod 2047 = 240
 S( 9) = ( 240² - 2) mod 2047 =   57598 mod 2047 = 282
 S(10) = ( 282² - 2) mod 2047 =   79522 mod 2047 = 1736

Da $S(10)>0$ ist, ist $M_{11}=2047$ keine Primzahl (es gilt $2047=23\cdot 89$).

Beispiel 3: Wir prüfen, ob $M_{19}=2^{19}-1=524287$ eine Primzahl ist:

 S( 1) = 4
 S( 2) = (      4² - 2) mod 524287 =     14
 S( 3) = (     14² - 2) mod 524287 =    194
 S( 4) = (    194² - 2) mod 524287 =  37634
 S( 5) = (  37634² - 2) mod 524287 = 218767
 S( 6) = ( 218767² - 2) mod 524287 = 510066
 S( 7) = ( 510066² - 2) mod 524287 = 386344
 S( 8) = ( 386344² - 2) mod 524287 = 323156
 S( 9) = ( 323156² - 2) mod 524287 = 218526
 S(10) = ( 218526² - 2) mod 524287 = 504140
 S(11) = ( 504140² - 2) mod 524287 = 103469
 S(12) = ( 103469² - 2) mod 524287 = 417706
 S(13) = ( 417706² - 2) mod 524287 = 307417
 S(14) = ( 307417² - 2) mod 524287 = 382989
 S(15) = ( 382989² - 2) mod 524287 = 275842
 S(16) = ( 275842² - 2) mod 524287 =  85226
 S(17) = (  85226² - 2) mod 524287 = 523263
 S(18) = ( 523263² - 2) mod 524287 =      0

Da $S_{18}=0$ ist, ist $M_{19}=524287$ eine Primzahl (dies ist schon seit 1603 bekannt).

Beispielimplementierung in Python

Das folgende Programm implementiert den Lucas-Lehmer-Test in der Programmiersprache Python. In Python ist es möglich, mit beliebig großen ganzen Zahlen zu rechnen, die nur durch den verfügbaren Speicher begrenzt sind. Die hier vorgestellte Implementierung berücksichtigt nicht, dass der Lucas-Lehmer-Test idealerweise bereits abbricht, wenn $p$ gerade oder nicht-prim ist, dies wird dem Nutzer überlassen. So würde das Programm bei Eingabe von $p=2$ die falsche Aussage liefern, dass die Zahl 3 keine Mersenne-Primzahl ist.

Briefstempel zur Entdeckung der Mersenne-Primzahl 2¹¹²¹³-1

Auf einem Intel Pentium 4 aus dem Jahr 2005 benötigt die Rechnung für $p=11213$ mit diesem Programm nur 41 Sekunden. Die Rechnung im Jahr 1963, mit der nachgewiesen wurde, dass $M_{11213}$ prim ist, dauerte dagegen mit einem damaligen Supercomputer Illiac II noch 2¼ Stunden.

#Lucas-Lehmer-Test fuer Python 3
print('Lucas-Lehmer-Test (Mersenne-Zahlen)')
p = int(input('Exponent p von 2^p-1 '))
m = 2 ** p-1
print('m = 2 ^', p, '- 1 =', m)
s = 4
for i in range (2, p):
    s = (s * s - 2) % m
print('ist {}eine Mersenne-Primzahl'.format('' if s == 0 else 'k'))

Literatur

• Paulo Ribenboim: Die Welt der Primzahlen. Geheimnisse und Rekorde. Springer Verlag, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-34283-4 (Springer-Lehrbuch).
• Édouard Lucas: Théorie des Fonctions Numériques Simplement Périodiques. In: American Journal of Mathematics. 1, No. 4, 1878, S. 289–321, (dritter Teil der Abhandlung).
• Derrick Henry Lehmer: An extended theory of Lucas’ functions. In: The Annals of Mathematics. 31, No. 3, 1930, S. 419–448, .
  (erste Seite seiner Doktorarbeit von 1930 in einer Ausstellung in Berkeley sowie weitere Photos).