Maxwell-Körper

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Maxwell-Körper

Als Maxwell-Körper wird in der rheologischen Modellierung die Reihenschaltung einer (linearen) Hookeschen Feder und eines Dämpfers bezeichnet.

Die Modelleigenschaften dieser Elemente sind:

• das Hookesche Gesetz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma = E \cdot \varepsilon} für die Feder
  • der Elastizitätsmodul Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E}
  • die Dehnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon}
• die Geschwindigkeits- oder Ratenabhängigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma = \eta \cdot \dot\varepsilon} des Dämpfers
  • die Spannung $\sigma$
  • die Viskosität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \eta} .

In Kombination mit der Annahme, dass die Dehnungen von Feder und Dämpfer zur Gesamtdehnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon = \varepsilon_F + \varepsilon_D} zu addieren sind, ebenso ihre Raten zur Gesamtdehnungsrate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\varepsilon} = \dot{\varepsilon}_F + \dot{\varepsilon}_D} , ergibt sich die beschreibende Differentialgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Rightarrow \dot{\varepsilon} = \frac{\dot{\sigma}(t)}{E} + \frac{\sigma(t)}{\eta}} .

Die Eigenschaften dieses Systems lassen sich am besten diskutieren, wenn man seine Reaktionen auf ein Kriech- bzw. Retardationsexperiment sowie ein Relaxationsexperiment betrachtet.

Kriechexperiment

Ein Kriech- oder Retardationsexperiment bedeutet die Beaufschlagung des Systems mit einem Spannungssprung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma(t) = \sigma_0 \, H(t)} , wobei wir mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H(t)} die Heaviside-Funktion bezeichnen, also einen Sprung von Null auf Eins zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = t_0 = 0} .

Aus der beschreibenden Differentialgleichung erhält man durch Integration nach der Zeit $t$ für die Dehnungsantwort dieses Körpers unter einem Spannungssprung auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_0} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \varepsilon(t) = \int\limits_0^t \dot{\varepsilon} {\rm d}t &= \frac{\sigma_0}{E} + \int\limits_0^t \frac{\sigma}{\eta} {\rm d}t\\ &= \frac{\sigma_0}{E} + \frac{\sigma_0}{\eta} \, t \end{align}}

Dies zeigt das bekannte Verhalten einer konstanten Antwort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\sigma_0}{E}} aufgrund des Spannungssprungs am Federelement, aber auch eine (lineare) Zeitabhängigkeit. Gerade dies beschreibt das unbegrenzte "Weiter-Dehnen" ("Kriechen") dieses Systems bei der hier angelegten (konstanten) Spannung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_0} .

Relaxationsexperiment

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typische Spannungsrelaxation

Das Relaxationsexperiment zeigt die Antwort des Systems auf einen Dehnungssprung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \varepsilon (t)=\varepsilon _{0}\,H(t)} . Hierbei sehen wir aus der obigen, beschreibenden Differentialgleichung, dass nur die homogene DGL gelöst werden muss:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \dot{\varepsilon}(t) &= 0\\ \Leftrightarrow \frac{\dot{\sigma}(t)}{E} + \frac{\sigma(t)}{\eta} &= 0\\ \Leftrightarrow \tau^\star\dot{\sigma}(t) + \sigma(t) &= 0 \end{align}}

mit der typischen Relaxationszeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau^\star = \frac{\eta}{E}} .

Die Lösungs dieser DGL ist eine e-Funktion der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma(t) = c \, e^{-t/\tau^\star}} , wobei sich die Integrationskonstante c aus der Anfangsbedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma(t=0) = E \, \varepsilon_0} ergibt.

Damit ist die Lösung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma(t) = E \, \varepsilon_0 \, e^{-t/\tau^\star}} .

Der Dehnungssprung $\varepsilon _{0}$ an $t=0$ bewirkt also einen Spannungssprung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \sigma (t=0)=E\varepsilon _{0}} . Dann zieht sich die Feder zusammen, und die Dehnung geht in den Dämpfer über. Damit entspannt sich das System bei vorgegebener Gesamtdehnung immer weiter. Dies nennt man "Relaxation."

Für exemplarische Kennwerte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E = 4} MPa, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \eta = 3} MPa·s ist oben der Relaxationsverlauf zu sehen. Die Relaxationszeit ist damit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau^\star=0,75} s.

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 
• P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2000, ISBN 3-540-66114-X.