Metabelsche Gruppe

Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie sind metabelsche Gruppen eine Klasse von Gruppen, die sich in gewisser Weise als Produkt zweier abelscher Gruppen zerlegen lassen.

Definition

Eine Gruppe $G$ ist metabelsch, wenn alle Kommutatoren miteinander kommutieren, also wenn für alle $x,y,z,w\in G$ die Gleichung

$(xyx^{-1}y^{-1})(zwz^{-1}w^{-1})=(zwz^{-1}w^{-1})(xyx^{-1}y^{-1})$

gilt. Mit anderen Worten, die Kommutatoruntergruppe $\left[G,G\right]$ soll eine abelsche Gruppe sein.

Eine äquivalente Bedingung ist, dass es abelsche Gruppen $A,B$ und eine exakte Sequenz

$0\to A\to G\to B\to 0$

gibt. In der englischsprachigen Literatur werden metabelsche Gruppen deshalb auch als abelian-by-abelian groups bezeichnet.

Beispiele

• Die Gruppe der 2-dimensionalen regulären oberen Dreiecksmatrizen $\left({\begin{array}{cc}*&*\\0&*\end{array}}\right)$ ist metabelsch. Die Kommutatoruntergruppe ist in diesem Fall die abelsche Gruppe von Dreiecksmatrizen der Form $\left({\begin{array}{cc}1&*\\0&1\end{array}}\right)$, die Quotientengruppe $G/\left[G,G\right]$ ist isomorph zur Gruppe der regulären Diagonalmatrizen.
• Die Gruppe der affinen Abbildungen $x\mapsto ax+b$, $a\neq 0$ eines beliebigen Körpers ist metabelsch. Ihre Kommutatorgruppe ist die abelsche Gruppe der Translationen $x\mapsto x+b$, die Quotientengruppe $G/\left[G,G\right]$ ist isomorph zur Gruppe der Homothetien $x\mapsto ax$.
• Die Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien der euklidischen Ebene ist metabelsch, ihre Kommutatorgruppe ist die abelsche Gruppe der Verschiebungen, die Quotientengruppe $G/\left[G,G\right]$ ist isomorph zur Drehgruppe $SO(2)$.
• Abelsche Gruppen sind metabelsch.
• Eine nichtabelsche auflösbare Gruppe ist genau dann metabelsch, wenn sie eine Subnormalreihe der Länge $2$ hat.
• Die symmetrische Gruppe $S_{n}$ ist genau dann metabelsch, wenn $n\leq 3$ ist.
• Jede Diedergruppe $D_{n}$ und die unendliche Diedergruppe $D_{\infty }$ sind metabelsch.
• Der Holomorph einer zyklischen Gruppe ist metabelsch.
• Die Lamplighter-Gruppe ist metabelsch.
• Untergruppen, Quotientengruppen und direkte Produkte metabelscher Gruppen sind wieder metabelsch.

Literatur

• Specht, Wilhelm: Gruppentheorie. Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1956. vii+457 pp.
• Meier-Wunderli, H.: Metabelsche Gruppen. Comment. Math. Helv. 25, (1951). 1–10, doi:10.1007/BF02566442.
• Kaniuth, Eberhard; Thoma, Elmar: Charaktere metabelscher Gruppen. Arch. Math. (Basel) 20 1969 4–9, doi:10.1007/BF01898984.

Weblinks

• Metabelian Groups (Groupprops)