Milnor-Faserung

In der Mathematik sind Milnor-Faserungen ein häufig studiertes Beispiel der Singularitätentheorie.

Definition

Sei $f\colon \mathbb {C} ^{n+1}\to \mathbb {C}$ ein Polynom in $n+1$ Variablen, für das $f(0)=0$ und $0\in \mathbb {C} ^{n+1}$ ein kritischer Punkt ist. Sei $V(f)=\left\{x\in \mathbb {C} ^{n+1}\colon f(x)=0\right\}$ und $S_{\epsilon }=\left\{x\in \mathbb {C} ^{n+1}\colon \Vert x\Vert =\epsilon \right\}$ für ein kleines $\epsilon >0$.

Als Milnor-Faserung bezeichnet man die Abbildung

${\frac {f}{\Vert f\Vert }}\colon S_{\epsilon }\setminus (S_{\epsilon }\cap V(f))\to S^{1}$.

Als Milnor-Fasern bezeichnet man die Fasern (Urbilder) dieser Abbildung.

Eigenschaften der Milnor-Faserung

• Für $B_{\epsilon }=\left\{x\in \mathbb {C} ^{n+1}\colon \Vert x\Vert \leq \epsilon \right\}$ ist $B_{\epsilon }\cap V(f)$ ein Kegel über $S_{\epsilon }\cap V(f)$. Letzteres wird als Link der Singularität bezeichnet.
• Der Link der Singularität $S_{\epsilon }\cap V(f)$ ist $(n-2)$-zusammenhängend.
• Die Abbildung ${\frac {f}{\Vert f\Vert }}\colon S_{\epsilon }\setminus (S_{\epsilon }\cap V(f))\to S^{1}$ ist eine lokal-triviale Faserung.
• Wenn $r$ die komplexe Dimension des Keims der kritischen Menge von $f\mid _{V(f)}$ ist, dann sind die Milnor-Fasern $(n-r-1)$-zusammenhängend. Insbesondere sind im Fall isolierter Singularitäten die Milnor-Fasern $(n-1)$-zusammenhängend.
• Die Milnor-Fasern haben den Homotopietyp eines endlichen CW-Komplexes der reellen Dimension $n$. Im Fall isolierter Singularitäten haben die Milnor-Fasern den Homotopietyp eines Bouquets von $\mu$ $n$-Sphären. Die Zahl $\mu$ heißt die Milnor-Zahl der Singularität. Sie kann berechnet werden als

$\mu =\dim _{\mathbb {C} }\left(\mathbb {C} \left\{z_{1},\ldots ,z_{n+1}\right\}/\left({\frac {\partial f}{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial z_{n+1}}}\right)\right)$,

wobei $\mathbb {C} \left\{z_{1},\ldots ,z_{n+1}\right\}$ die $\mathbb {C}$-Algebra der Keime analytischer Funktionen in $0\in \mathbb {C} ^{n+1}$ ist.

• Die Milnor-Fasern sind parallelisierbar.
• Monodromiesatz: Sei $h\colon F\to F$ die Monodromie der Milnor-Faserung. Dann sind die Eigenwerte von

$h^{*}\colon H^{i}(F;\mathbb {C} )\to H^{i}(F;\mathbb {C} )$

stets Einheitswurzeln. Tatsächlich gibt es positive Zahlen $p$ und $q=i+1$, so dass

$((h^{*})^{p}-id)^{q}=0$.

Beispiel

Für

$f(z_{1},z_{2})=z_{1}^{p}+z_{2}^{q}$

ist $n=1$, $S_{\epsilon }\simeq S^{3}$, $S_{\epsilon }\cap V(f)$ ein $(p,q)$-Torusknoten, und die Existenz der Milnor-Faserung zeigt, dass es sich bei Torusknoten um gefaserte Knoten handelt. Die Faser ist eine nicht-kompakte Fläche, welche den Homotopietyp eines Bouquets von Kreisen hat, also eines $1$-dimensionalen CW-Komplexes.

Literatur

• John Milnor: Singular points of complex hypersurfaces. Princeton 1968.