Orthogonale Polynome

Unter orthogonalen Polynomen versteht man in der Mathematik eine unendliche Folge von Polynomen

$P_{0}(x),P_{1}(x),P_{2}(x),\dotsc$

in einer Unbekannten $x$, so dass $P_{n}(x)$ den Grad $n$ hat, die orthogonal bezüglich eines $L^{2}$-Skalarproduktes sind.

Definition

Sei $\mu$ ein Borel-Maß auf $\mathbb {R}$ und betrachte man den Hilbertraum $L^{2}(\mathbb {R} ,d\mu )$ der bezüglich $\mu$ quadratintegrierbaren Funktionen mit dem Skalarprodukt

$\langle f,g\rangle =\int _{\mathbb {R} }{\overline {f(x)}}g(x)d\mu (x)$.

Weiter sei $\textstyle \int _{\mathbb {R} }|x|^{n}d\mu (x)<\infty$ für alle $n\in \mathbb {N}$. Das ist zum Beispiel der Fall, wenn das Maß einen kompakten Träger besitzt. Insbesondere ist das Maß endlich und man kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit $\mu (\mathbb {R} )=1$ fordern. Im einfachsten Fall ist das Maß durch eine nicht-negative Gewichtsfunktion $w(x)$ gegeben: $d\mu (x)=w(x)dx$.

Eine Folge von Polynomen $P_{n}$, $n\in \mathbb {N} _{0}$, heißt Folge orthogonaler Polynome, falls $P_{n}(x)$ Grad $n$ hat und verschiedene Polynome paarweise orthogonal sind:

$\langle P_{m},P_{n}\rangle =0,\qquad m\neq n.$

Konstruktion

Ist das Maß gegeben, so können die zugehörigen Polynome eindeutig mit Hilfe des Gram-Schmidt'schen Orthogonalisierungsverfahrens aus den Monomen $x^{n}$, $n\in \mathbb {N} _{0}$, konstruiert werden. Dafür genügt es offensichtlich, die Momente

$m_{n}=\int _{\mathbb {R} }x^{n}d\mu (x)$

zu kennen. Die Umkehrung ist als Stieltjes'sches Momentenproblem bekannt.

Normierung

Es sind verschiedene Möglichkeiten der Normierung in Verwendung. Um diese zu beschreiben, führen wir folgende Konstanten ein:

$h_{n}=\langle P_{n},P_{n}\rangle =\int _{\mathbb {R} }P_{n}(x)^{2}d\mu (x),\qquad {\tilde {h}}_{n}=\langle P_{n}(x),x\,P_{n}(x)\rangle =\int _{\mathbb {R} }x\,P_{n}(x)^{2}d\mu (x)$

und

$P_{n}(x)=k_{n}x^{n}+{\tilde {k}}_{n}x^{n-1}+{\tilde {\tilde {k}}}_{n}x^{n-2}+\dotsb$.

Dann bezeichnet man die Polynome als orthonormal, falls $h_{n}=1$, und als monisch, falls $k_{n}=1$.

Rekursionsrelation

Orthogonale Polynome erfüllen eine dreistufige Rekursionsrelation

$P_{n+1}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n}(x)-C_{n}P_{n-1}(x)$

(wobei $P_{-1}(x)=0$ im Fall $n=0$ zu setzen ist) mit

$A_{n}={\frac {k_{n+1}}{k_{n}}},\quad B_{n}=\left({\frac {{\tilde {k}}_{n+1}}{k_{n+1}}}-{\frac {{\tilde {k}}_{n}}{k_{n}}}\right)A_{n}=-{\frac {{\tilde {h}}_{n}}{h_{n}}}A_{n},\quad C_{n}={\frac {A_{n}{\tilde {\tilde {k}}}_{n}+B_{n}{\tilde {k}}_{n}-{\tilde {\tilde {k}}}_{n+1}}{k_{n-1}}}={\frac {A_{n}}{A_{n-1}}}{\frac {h_{n}}{h_{n-1}}},$

und den Konstanten $h_{n},k_{n},{\tilde {k}}_{n},{\tilde {\tilde {k}}}_{n}$ aus dem vorherigen Abschnitt.

Die Rekursionsrelation kann auch äquivalent in der Form

$a_{n}P_{n+1}(x)+b_{n}P_{n}(x)+c_{n}P_{n-1}(x)=x\,P_{n}(x)$

mit

$a_{n}={\frac {k_{n}}{k_{n+1}}},\quad b_{n}={\frac {{\tilde {k}}_{n}}{k_{n}}}-{\frac {{\tilde {k}}_{n+1}}{k_{n+1}}}={\frac {{\tilde {h}}_{n}}{h_{n}}},\quad c_{n}={\frac {{\tilde {\tilde {k}}}_{n}-a_{n}{\tilde {\tilde {k}}}_{n+1}-b_{n}{\tilde {k}}_{n}}{k_{n-1}}}=a_{n-1}{\frac {h_{n}}{h_{n-1}}},$

geschrieben werden.

Speziell im Fall von orthonormalen Polynomen, $h_{n}=1$, erhält man eine symmetrische Rekursionsrelation $c_{n}=a_{n-1}$ und die orthonormalen Polynome erfüllen genau die verallgemeinerte Eigenvektorgleichung des zugehörigen Jacobi-Operators. Das Maß $d\mu$ ist das Spektralmaß des Jacobi-Operators zum ersten Basisvektor $\delta _{1,n}$.

Christoffel–Darboux-Formel

Es gilt

$\sum _{m=0}^{n}{\frac {P_{m}(x)P_{m}(y)}{h_{m}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}{\frac {P_{n+1}(x)P_{n}(y)-P_{n}(x)P_{n+1}(y)}{x-y}}$

und im Fall $x=y$ erhält man durch Grenzwertbildung

$\sum _{m=0}^{n}{\frac {P_{m}(x)^{2}}{h_{m}}}={\frac {k_{n}}{h_{n}k_{n+1}}}{\left(P_{n+1}'(x)P_{n}(x)-P_{n}'(x)P_{n+1}(x)\right)}.$

Nullstellen

Das Polynom $P_{n}$ hat genau $n$ Nullstellen, die alle einfach sind und im Träger des Maßes liegen. Die Nullstellen von $P_{n}$ liegen strikt zwischen den Nullstellen von $P_{n+1}$.

Liste von Folgen orthogonaler Polynome

• Gegenbauer-Polynom
• Hahn-Polynom
• Hermitesches Polynom
• Jacobi-Polynom
• Legendre-Polynom
• Laguerre-Polynome
• Macdonald-Polynome
• Sobolevsche orthogonale Polynome
• Tschebyschow-Polynom
• Zernike-Polynom

Asymptotische Analysis

• Asymptotische Entwicklungen vom Plancherel-Rotach-Typ

Literatur

• Milton Abramowitz und Irene A. Stegun (Herausg.), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York, Dover (1965), ISBN 978-0486612720 (Kapitel 22)
• Gábor Szegő, Orthogonal Polynomials, Colloquium Publications - American Mathematical Society, 1939. ISBN 0-8218-1023-5.
• Theodore S. Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, 1978. ISBN 978-0677041506.

Weblinks

• Orthogonale Polynome in der NIST Digital Library of Mathematical Functions