Positiv semidefinite Funktion

Eine positiv semidefinite Funktion ist eine spezielle komplexwertige Funktion, die meist auf den reellen Zahlen oder allgemeiner auf Gruppen definiert wird. Verwendung finden diese Funktionen beispielsweise bei der Formulierung des Satzes von Bochner, der die charakteristischen Funktionen in der Stochastik beschreibt.

Definition

Eine Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi \colon \R^d \to \Complex }

heißt eine positiv semidefinite Funktion, wenn für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \N } und alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_1,t_2, \dotsc, t_n \in \R^d} und alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_1,z_2,\ldots,z_n \in \Complex} gilt, dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^{n} \varphi(t_i-t_k) \cdot z_i \cdot \overline{z_k} \geq 0}

ist. Allgemeiner heißt eine Abbildung von einer (hier multiplikativ geschriebenen) Gruppe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi \colon (G, \cdot) \to \Complex }

eine positiv semidefinite Abbildung, wenn für alle $n\in \mathbb {N}$ und alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_1,t_2, \dotsc, t_n \in G} und alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_1,z_2,\ldots,z_n \in \Complex} gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^{n} \varphi(t_i \cdot t_k^{-1}) \cdot z_i \cdot \overline{z_k} \geq 0} .

Alternative Definition

Alternativ lässt sich eine positiv semidefinite Funktion definieren als eine Funktion, bei der für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \N } die Matrix

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A= (\varphi(t_i \cdot t_k^{-1}))_{i,k=1, \dots, n} }

eine positiv semidefinite Matrix ist.

Auftreten

Positiv semidefinite Funktionen treten beispielsweise in der Stochastik auf. Dort wird ausgehend von trennenden Familien gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeitsmaße auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^d } durch die Angabe einer charakteristischen Funktion eindeutig bestimmt sind. Somit existiert eine Bijektion zwischen den Wahrscheinlichkeitsmaßen und den charakteristischen Funktionen. Die Menge der charakteristischen Funktionen bleibt dabei aber unklar, sprich für eine vorgegebene Funktion ist nicht offensichtlich, ob es sich um die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes handelt oder nicht.

Der Satz von Bochner beschreibt die charakteristischen Funktionen nun vollständig mithilfe der positiv semidefiniten Funktionen: Eine stetige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} von Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex } ist genau dann die charakteristische Funktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes, wenn sie positiv semidefinit ist und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(0)=1 } ist.

Weblinks

• Viktor S. Shul'man: Positive-definite function. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online). 
• Eric W. Weisstein: Positive Definite Function. In: MathWorld (englisch).

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.