Potenzgesetz (Statistik)

Die Häufigkeit der Einwohnerzahlen deutscher Städte (gelb) kann durch ein Potenzgesetz: $y=380969\cdot x^{-2,31}$ beschrieben werden (blau). Dem liegt eine Pareto-Verteilung zugrunde.

In der Mathematik sind Potenzgesetze (engl. power laws) Gesetzmäßigkeiten, die die Form eines Monoms haben: $y=a\cdot x^{b}$.

Sie gehören zu den Skalengesetzen und beschreiben die Skaleninvarianz vieler natürlicher Phänomene. Sie treten beispielsweise im Zusammenhang mit Worthäufigkeiten (Zipfsches Gesetz) oder menschlicher Wahrnehmung (Stevenssche Potenzfunktion) auf. Pareto-Verteilungen sind ebenfalls Potenzgesetze.

Mathematische Details

Potenzgesetze beschreiben polynomielle Abhängigkeiten zwischen zwei Größen $y$ und $x$ der Form

$y=a\cdot x^{b}+\dotsb$

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} der Vorfaktor und $b$ der Exponent des Potenzgesetzes, und die durch $+\dotsb$ angedeuteten Zusatzterme werden als vernachlässigbar angenommen und weggelassen.

Der Wert von $a$ ist meist weniger relevant – man interessiert sich eher für den Exponenten des Potenzgesetzes, da dieser bestimmt, ob Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} mit steigendem $x$ ab- oder zunimmt und mit welcher Geschwindigkeit. Insbesondere kann der Vorfaktor in den Exponenten integriert werden.  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=a\cdot x^b\,} wird dazu umgeformt zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=x^{b+\log_x a}} .

Beispiele

Ob eine gegebene Verteilung durch eine Potenzfunktion angenähert werden kann, zeigt sich bei einer doppelt-logarithmischen Auftragung: Ist der Graph der Funktion eine Gerade, so ist eine Näherung durch eine Potenzfunktion möglich. Die Steigung der Gerade ist dann ihr Exponent. Eine detaillierte Herleitung und Beispiel findet sich im Artikel Pareto-Verteilung.

Exponentielles Wachstum von Städten

Ein Potenzgesetz der Größenverteilung ergibt sich bei exponentiellem Wachstum, wenn sowohl die Anzahl als auch die Ausdehnung der zu messenden Objekte exponentiell wächst. Die Größenverteilung der Objekte zu einem beliebigen Zeitpunkt gehorcht dann einem Potenzgesetz:

Beispielsweise sei die Anzahl von Städten zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} eine exponentiell wachsende Größe:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle n(t)=e^{\nu t}}

Die Ausdehnung einer zum Zeitpunkt $t_{i}$ gegründeten Stadt zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} sei ebenso exponentiell wachsend:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_i=e^{\mu (t-t_i)} \;\;\; (\in {[1,\infty[})}

Für die Ausdehnung $k_{i}$ der Städte gilt folglich die Wahrscheinlichkeitsaussage

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P[k_i(t) < k] = P[e^{\mu (t-t_i)} < k]} .

Durch Logarithmieren und Umformen ergibt sich daraus:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P[k_i(t) < k] = P[\mu(t-t_i) < \ln{k}] = P[t-t_i < \ln{k^{1/\mu}}] = 1 - P[t_i \leq t - \ln{k^{1/\mu}}]}

Die Wahrscheinlichkeit zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} , dass eine zufällige Stadt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} vor einem gewählten Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_0} gegründet worden ist, beträgt

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P_{t}[t_{i}<t_{0}]={\frac {n(t_{0})}{n(t)}}={\frac {e^{\nu t_{0}}}{e^{\nu t}}}=e^{\nu (t_{0}-t)}} .

Verwendet man diese Formel für die Berechnung der Verteilungsfunktion (setze Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_0 = t - \ln{k^{1/\mu}}} ), so ergibt sich die Verteilungsfunktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P[k_i(t) < k] = 1 - e^{\nu (t - \ln{k^{1/\mu}} - t)} = 1-e^{\ln{k^{-\nu/\mu}}} = 1 - \frac{1}{k^{\nu/\mu}}} .

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte für die Ausdehnung (Ableitung der Verteilungsfunktion; „Größenverteilung“) ist folglich von der gesuchten Form:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(k) = a\cdot k^{-(1+\nu/\mu)} \;,\;\;\; k \in {[1,\infty[}}

das heißt mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=-1-\mu /\nu} .

Netzwerktheorie

Datei:Barabasi-albert model degree distribution.svg

Die Gradverteilung eines Barabási-Albert-Netzwerks mit 200.000 Knoten und maximalem Grad von 882.

Potenzgesetze treten bei skalenfreien Netzen auf, wie sie beispielsweise durch das Barabási-Albert-Modell erzeugt werden.

Siehe auch

• Pareto-Verteilung
• Zipfsches Gesetz, Lotkas Gesetz
• Allometrie, Potenz
• Lewis Fry Richardson

Literatur

• Yule, G. U.: A mathematical theory of evolution based upon the conclusions of Dr J.C. Willis, FRS. Philos. Trans. R. Soc. Lond. B 213 (1924), 21–87
• Willis, J. C.: Age and area. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1922
• Fermi, Enrico: On the Origin of the Cosmic Radiation. Phys. Rev. 75 (1949), S. 1169–1174
• Zipf, George Kingsley (1949): Human Behavior and The Principles of Least Effort. Addison-Wesley, Cambridge, MA 1949