Primzahllücke

Eine Primzahllücke ist die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen: $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$. Die kleinste Primzahllücke ist $g_{1}=3-2=1$. Alle anderen Primzahllücken sind gerade, da 2 die einzige gerade Primzahl ist und somit die Differenz aus zwei ungeraden Zahlen gebildet wird.

Bemerkung: Einige Autoren bezeichnen mit Primzahllücke abweichend hiervon die Anzahl zusammengesetzter Zahlen zwischen zwei Primzahlen, d. h. eins weniger als nach der hier verwendeten Definition.

Auftreten von Primzahllücken

• Da eine Lücke der Länge 1 nur zwischen einer geraden und einer ungeraden Primzahl auftreten kann, ist offensichtlich, dass es sie nur einmal gibt. (2 ist die einzige gerade Primzahl).
• Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge, d. h. Lücken der Länge 2 gibt, ist eines der großen ungelösten Probleme der Mathematik.
• Abgesehen von der Lücke zwischen 2 und 3 ist die Länge einer Primzahllücke immer gerade.
• Da es unendlich viele Primzahlen gibt, bilden die Längen der Primzahllücken eine Folge mit den Anfangsgliedern:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2 … (Folge A001223 in OEIS).

Nach der Definition von $g_{i}$ hat man:

$p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}.$

Konstruktion beliebig großer Primzahllücken

Zu einer beliebigen natürlichen Zahl $n$ ist es sehr leicht, die Existenz einer Primzahllücke mindestens der Länge $n$ nachzuweisen. Sei nämlich $N$ eine natürliche Zahl, die zu keiner der Zahlen $2,3,\ldots ,n$ teilerfremd ist. Dann sind auch die Zahlen $N+2,N+3,\ldots ,N+n$ nicht teilerfremd zu $N$ und folglich keine Primzahlen. Die größte Primzahl vor dieser Folge ist also höchstens gleich $N+1$, die kleinste danach hingegen mindestens $N+n+1$, so dass die Länge dieser Primzahllücke mindestens $n$ ist.

Man hat hierbei verschiedene Möglichkeiten, ein $N$ mit der geforderten Eigenschaft zu bilden. Beweistechnisch am einfachsten wählt man die Fakultät, also $N=n!$, in welchem Falle dann die betrachteten $N+k$ sogar jeweils durch $k$ teilbar sind. Ebenso gut kann man das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen von 2 bis $n$ wählen, $N=\operatorname {kgV} (2,\ldots ,n)$.

Den kleinstmöglichen Kandidaten für $N$ findet man durch die Primfakultät, $N=n\#$. Ist $p$ die kleinste Primzahl größer als $n$, so gilt $n\#=(p-1)\#$, d. h. man hat sogar automatisch eine Lücke der Länge $p-1$ gefunden.

Obwohl im letzten Fall $N$ so klein wie möglich gewählt wurde, ist dennoch nicht garantiert, dass die gefundenen Lücken jeweils die erste Lücke der geforderten Länge sind. Insofern leisten alle diese Verfahren zwar gleichwertig den Nachweis, dass beliebig große Lücken existieren, sind aber bei einer Suche nach ersten Vorkommen großer Lücken nur bedingt von Nutzen.

Beispiel für n = 6

Welche Lücken liefern die genannten Verfahren jeweils im Falle $n=6$? Zum Vergleich: Die erste Lücke der Länge 6 tritt auf zwischen 23 und 29.

Fakultät

Es gilt 6! = 720.

Da 720 durch 2 teilbar ist, ist es auch 720 + 2 = 722.

Da 720 durch 3 teilbar ist, ist es auch 720 + 3 = 723.

Da 720 durch 4 teilbar ist, ist es auch 720 + 4 = 724.

Da 720 durch 5 teilbar ist, ist es auch 720 + 5 = 725.

Da 720 durch 6 teilbar ist, ist es auch 720 + 6 = 726.

Man hat also eine Primzahllücke mindestens der Länge 6 zwischen den Primzahlkandidaten 721 und 727 gefunden. Da 721 durch 7 teilbar ist, ist die Lücke sogar noch größer. In der Tat wird sie eingerahmt von den Primzahlen 719 und 727 und hat folglich die Länge 8.

kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches)

Es gilt kgV(1,…,6) = 60.

Da 60 durch 2 teilbar ist, ist es auch 60 + 2 = 62.

Da 60 durch 3 teilbar ist, ist es auch 60 + 3 = 63.

Da 60 durch 4 teilbar ist, ist es auch 60 + 4 = 64.

Da 60 durch 5 teilbar ist, ist es auch 60 + 5 = 65.

Da 60 durch 6 teilbar ist, ist es auch 60 + 6 = 66.

Diesmal haben wir also eine Lücke der Länge mindestens 6 zwischen 61 und 67 gefunden. Beides sind „zufällig“ Primzahlen, d. h. die Länge der Lücke ist genau 6.

Primfakultät

Es ist $6\#=2\cdot 3\cdot 5=30$.

Da 30 durch 2 teilbar ist, ist es auch 30 + 2 = 32.

Da 30 durch 3 teilbar ist, ist es auch 30 + 3 = 33.

Da 30 und 4 durch 2 teilbar sind, ist es auch 30 + 4 = 34.

Da 30 durch 5 teilbar ist, ist es auch 30 + 5 = 35.

Da 30 und 6 durch 2 teilbar sind, ist es auch 30 + 6 = 36.

Wiederum hat die gefundene Lücke genau die Länge 6, da 31 und 37 Primzahlen sind.

Wachstum der Funktionen

Schon das ausgeführte Beispiel $n=6$ zeigt, dass die Fakultät die bei weitem am raschesten wachsende unter den betrachteten Funktionen ist. Für $n=10$ ist der Größenunterschied zwischen $n!=3628800$, $\operatorname {kgV} (2,\ldots ,10)=2520$ und $n\#=210$ noch deutlicher. Dagegen tritt bereits zwischen 113 und 127 eine Lücke der Länge 14 auf, so dass also selbst die Abschätzung durch $n\#$ weit davon entfernt ist, scharf zu sein.

Obere Schranken

Joseph Bertrand zeigte folgende natürliche Begrenzung einer Primzahllücke: Für jedes $n>1\$ gilt: zwischen $n\$ und $2n\$ liegt wenigstens eine Primzahl. Daraus folgt, dass eine Primzahllücke, begonnen bei $n\$, nicht größer sein kann als $n\$ selbst.

Aus dem Primzahlsatz folgt, dass die Lücken für große $n$ im Mittel logarithmisch mit $n$ wachsen. Außerdem folgt aus dem Primzahlsatz: Für jedes $\epsilon >0$ gibt es eine Zahl $N$, so dass

$g_{n}<p_{n}\epsilon$.

für alle $n>N$ und

$\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.$

Guido Hoheisel zeigte 1930, dass es eine Konstante $\theta <1$ gibt, so dass:

$\pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{ as }}x\to \infty ,$

und damit

$g_{n}<p_{n}^{\theta },\,$

für genügend große $n$. Der Wert von $\theta$ konnte nach Hoheisel nahe 1 gewählt werden und wurde im Lauf der Zeit ständig verbessert (Hans Heilbronn ${\frac {249}{250}}$, Nikolai Grigorjewitsch Tschudakow $\theta ={\frac {3}{4}}+\varepsilon$ und beliebiges $\epsilon >0$, Albert Ingham $\theta >{\frac {5}{8}}$, Martin Huxley $\theta ={\frac {7}{12}}$, János Pintz, Baker, Harman $\theta =0{,}525$).

2005 bewiesen Daniel Goldston, János Pintz und Cem Yıldırım, dass

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0$

was sie 2007 auf

$\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .$

verbesserten. 2014 zeigte Yitang Zhang, dass

$\liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},$

und dass es somit unendlich viele Primzahllücken gibt, die kleiner als 70 Millionen sind. Das konnte von James Maynard auf 600 gedrückt werden und vom Polymath-Projekt auf 246.

Untere Schranken

1931 zeigte der Finne Erik Westzynthius (1901–1980), dass die maximale Primzahllücke mehr als logarithmisch wächst:

$\limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .$

1938 zeigte Robert Alexander Rankin, dass es eine Konstante $c$ gibt, so dass

$g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}$

für unendliche viele Werte von $n$ erfüllt ist. Außerdem zeigte er, dass man dafür jede Konstante $c<e^{\gamma }$ (mit $\gamma$ der Euler-Mascheroni-Konstante) nehmen kann. János Pintz verbesserte das 1997 auf $c<2e^{\gamma }$. Paul Erdös vermutete, dass die Konstante $c$ beliebig groß sein kann und lobte für den Beweis einen Preis von 10.000 Dollar aus. 2014 bewiesen unabhängig voneinander James Maynard einerseits und Terence Tao und Kollegen andererseits die Vermutung und außerdem, dass

$g_{n}>{\frac {\log n\log \log n\log \log \log \log n}{\log \log \log n}}$

für unendlich viele Werte von $n$.

Vermutungen

Unter Annahme der Riemannschen Vermutung zeigte Harald Cramér 1936, dass

$g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),$

mit Verwendung der Landau-Symbole. Cramér vermutete, dass

$g_{n}=O\left((\log p_{n})^{2}\right).$

Nach einer Vermutung des Dänen Ludvig Oppermann (1817–1883) ist

$g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.$

Aus der Vermutung von Andrica (eine Verschärfung der Vermutung von Legendre) folgt, dass

$g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.$

Die Vermutung von Polignac besagt, dass jede gerade Zahl $k$ unendlich oft als Primzahllücke auftaucht, für $k=2$ ist das die Primzahlzwillingsvermutung. Nach Zhang Yitang ist sie für ein $k<70.000.000$ richtig.

Weblinks

Wikibooks: Primzahlen: Primzahllücken – Lern- und Lehrmaterialien

• Eric W. Weisstein: Prime Gaps. In: MathWorld (englisch).
• The Gaps Between Primes (englisch)
• First occurrence prime gaps by Thomas R. Nicely (englisch) -- Die Referenz-Website und aktuelles zum Thema Primzahllücken