Punktgruppe

Eine Punktgruppe ist ein spezieller Typus einer Symmetriegruppe der euklidischen Geometrie, der die Symmetrie eines endlichen Körpers beschreibt. Alle Punktgruppen zeichnen sich dadurch aus, dass es einen Punkt gibt, der durch alle Symmetrieoperationen der Punktgruppe wieder auf sich selbst abgebildet wird. Aufgrund des Neumannschen Prinzips bestimmt die Punktgruppe die makroskopischen Eigenschaften des Körpers. Weitere Aussagen lassen sich mit Hilfe der Darstellungstheorie gewinnen.

Verwendet werden die Punktgruppen:

in der Kristallographie, wo die 32 kristallographischen Punktgruppen auch Kristallklassen genannt und inzwischen hauptsächlich mit Hilfe der Hermann-Mauguin-Symbolik bezeichnet werden,
in der Molekülphysik, wo die Punktgruppen mit Hilfe der Schoenflies-Notation bezeichnet werden.

Mathematische Grundlagen

Die Symmetrie eines Körpers wird mathematisch als Menge aller möglichen Symmetrieoperationen beschrieben (Symmetriegruppe). Mit Symmetrieoperationen sind dabei euklidische Bewegungen gemeint, die den Körper auf sich abbilden. Zu unterscheiden sind dabei

gerade Bewegungen, welche die Orientierung erhalten und
ungerade Bewegungen, welche die Orientierung umkehren, z. B. Spiegelungen an Ebenen.

Mögliche Symmetrieoperationen in Punktgruppen im dreidimensionalen, euklidischen Vektorraum sind die Symmetrieoperationen, die mindestens einen Fixpunkt besitzen:

Identitätsabbildung
Punktspiegelung an einem Inversionszentrum
Spiegelung an einer Spiegelebene
Drehung um eine Drehachse

sowie als Kombination daraus

Drehspiegelung bzw. die gleichwertige Drehinversion.

Die Translation, die Schraubung und die Gleitspiegelung können nicht Elemente einer Punktgruppe sein, da sie keinen Fixpunkt besitzen.

Wenn man das Hintereinanderausführen von Symmetrieoperationen als additive Verknüpfung auffasst, erkennt man, dass eine Menge von Symmetrieoperationen eine (in der Regel nicht kommutative) Gruppe ist.

Es gibt

kontinuierliche Punktgruppen. Sie werden auch Curie-Gruppen genannt und bestehen aus
- den Zylindergruppen (mit einer unendlichzähligen Drehachse) und
- den Kugelgruppen (mit zwei unendlichzähligen Drehachsen);
diskrete Punktgruppen. Sie lassen sich einteilen in:
- diskrete Punktgruppen mit maximal einer Drehachse mit einer Zähligkeit größer zwei. Sie können mit Spiegelebenen und zweizähligen Drehachsen kombiniert sein, dabei gibt es folgende Möglichkeiten:

Gruppe	Gruppensymbol (Schönflies)	Erläuterung
Drehgruppe	C_n	Eine n-zählige Drehachse
	C_nv	1 C_n-Achse + n Spiegelebenen, die diese Achse enthalten (v: vertikale Spiegelebene)
	C_nh	1 C_n-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht zu dieser Achse (h: horizontale Spiegelebene)
Diedergruppe	D_n	1 C_n-Achse + n C₂-Achsen senkrecht dazu
	D_nd	1 D_n-Achse + n Spiegelebenen, die die D_n-Achse und eine Winkelhalbierende der C₂-Achsen enthalten (d: diagonale Spiegelebene)
	D_nh	1 D_n-Achse + 1 Spiegelebene senkrecht dazu
Drehspiegelgruppe	S_n	1 n-zählige Drehspiegelachse

Für einzelne dieser Gruppen gibt es spezielle Bezeichnungen:

$C_{S}\equiv C_{1v}\equiv C_{1h}\equiv S_{1}$ (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S =} Spiegelung)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_i \equiv S_2} (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i =} Inversion, d. h. Punktspiegelung)

diskrete Punktgruppen mit mindestens zwei Drehachsen mit einer Zähligkeit größer zwei. Sie entsprechen den Symmetriegruppen der platonischen Körper:
- Die Tetraedergruppen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T, T_d, T_h} . Dabei entspricht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_d} der vollen Symmetrie eines Tetraeders.
- Die Oktaedergruppen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O, O_h} . Dabei entspricht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O_h} der vollen Symmetrie eines Oktaeders bzw. Hexaeders.
- Die Ikosaedergruppen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I, I_h} . Dabei entspricht $I_{h}$ der vollen Symmetrie eines Ikosaeders bzw. Dodekaeders.

Punktgruppen in der Kristallographie

Die vollständige mögliche Symmetrie einer Kristallstruktur wird mit den 230 kristallographischen Raumgruppen beschrieben. Hier kommen zusätzlich zu den Symmetrieoperationen der Punktgruppen auch Translationen in Form von Schraubungen und Gleitspiegelungen als Symmetrieoperationen vor.

Dagegen genügen zur Beschreibung der Symmetrie eines makroskopischen Einkristalls die Punktgruppen, da es sich bei Kristallen stets um konvexe Polyeder handelt und mögliche interne Translationen in der Struktur makroskopisch nicht erkennbar sind. Streicht man also in einer Raumgruppe alle Translationen und ersetzt zusätzlich die Schraubenachsen durch entsprechende Drehachsen sowie die Gleitspiegelebenen durch entsprechende Spiegelebenen, so erhält man die geometrische Kristallklasse oder Punktgruppe des Kristalls.

Als Kristallklassen bzw. kristallographische Punktgruppen kommen daher nur diejenigen dreidimensionalen Punktgruppen in Frage, deren Symmetrien mit einem dreidimensional unendlich ausgedehnten (Kristall-)Gitter vereinbar sind. Dies ist bei den Punktgruppen der Fall, in denen keine oder ausschließlich 6-, 4-, 3- und/oder 2-zählige Drehachsen vorkommen (Drehungen um 0, 60, 90, 120 bzw. 180 Grad und jeweils Vielfache davon). Insgesamt gibt es von diesen speziellen Punktgruppen die folgenden 32 Stück:

Die 32 kristallographischen Punktgruppen (Kristallklassen)

Punktgruppe (Kristallklasse)								Physikalische Eigenschaften^{[Anm. 1]}				Beispiele
Nr.	Kristallsystem	Name	Symbol			Lauegruppe	Zugehörige Raumgruppen (Nr.)	Enantiomorphie	Optische Aktivität	Pyroelektrizität	Piezoelektrizität; SHG-Effekt
			Schoenflies	Hermann-Mauguin (International)
			Schoenflies	Lang	Kurz
1	triklin	triklin-pedial	C₁	1	1	1	1	+	+	+ [uvw]	+	Abelsonit Axinit
2	triklin	triklin-pinakoidal	C_i (S₂)	1	1	1	2	–	–	–	–	Albit Anorthit
3	monoklin	monoklin-sphenoidisch	C₂	121 bzw. 112	2	2/m	3–5	+	+	+ [010] bzw. [001]	+	Uranophan Halotrichit
4		monoklin-domatisch	C_s (C_1h)	1m1 bzw. 11m	m		6–9	–	+	+ [u0w] bzw. [uv0]	+	Soda Skolezit
5		monoklin-prismatisch	C_2h	12/m1 bzw. 112/m	2/m		10–15	–	–	–	–	Gips Kryolith
6	orthorhombisch	orthorhombisch-disphenoidisch	D₂ (V)	222	222	mmm	16–24	+	+	–	+	Austinit Epsomit
7		orthorhombisch-pyramidal	C_2v	mm2	mm2		25–46	–	+	+ [001]	+	Hemimorphit Struvit
8		orthorhombisch-dipyramidal	D_2h (V_h)	2/m2/m2/m	mmm		47–74	–	–	–	–	Topas Anhydrit
9	tetragonal	tetragonal-pyramidal	C₄	4	4	4/m	75–80	+	+	+ [001]	+	Pinnoit Percleveit‑(Ce)
10		tetragonal-disphenoidisch	S₄	4	4		81–82	–	+	–	+	Schreibersit Cahnit
11		tetragonal-dipyramidal	C_4h	4/m	4/m		83–88	–	–	–	–	Scheelit Baotit
12		tetragonal-trapezoedrisch	D₄	422	422	4/mmm	89–98	+	+	–	+	Cristobalit Maucherit
13		ditetragonal-pyramidal	C_4v	4mm	4mm		99–110	–	–	+ [001]	+	Lenait Diaboleit
14		tetragonal-skalenoedrisch	D_2d (V_d)	42m bzw. 4m2	42m		111–122	–	+	–	+	Chalkopyrit Stannit
15		ditetragonal-dipyramidal	D_4h	4/m2/m2/m	4/mmm		123–142	–	–	–	–	Rutil Zirkon
16	trigonal	trigonal-pyramidal	C₃	3	3	3	143–146	+	+	+ [001]	+	Carlinit Gratonit
17		rhomboedrisch	C_3i (S₆)	3	3	3	147–148	–	–	–	–	Dolomit Dioptas
18		trigonal-trapezoedrisch	D₃	321 bzw. 312	32	3m	149–155	+	+	–	+	Quarz Tellur
19		ditrigonal-pyramidal	C_3v	3m1 bzw. 31m	3m		156–161	–	–	+ [001]	+	Turmalin Pyrargyrit
20		ditrigonal-skalenoedrisch	D_3d	32/m1 bzw. 312/m	3m		162–167	–	–	–	–	Calcit Korund
21	hexagonal	hexagonal-pyramidal	C₆	6	6	6/m	168–173	+	+	+ [001]	+	Nephelin Zinkenit
22		trigonal-dipyramidal	C_3h	6	6		174	–	–	–	+	Penfieldit Laurelit
23		hexagonal-dipyramidal	C_6h	6/m	6/m		175–176	–	–	–	–	Apatit Zemannit
24		hexagonal-trapezoedrisch	D₆	622	622	6/mmm	177–182	+	+	–	+	Hochquarz Pseudorutil
25		dihexagonal-pyramidal	C_6v	6mm	6mm		183–186	–	–	+ [001]	+	Wurtzit Zinkit
26		ditrigonal-dipyramidal	D_3h	6m2 bzw. 62m	6m2		187–190	–	–	–	+	Bastnäsit Benitoit
27		dihexagonal-dipyramidal	D_6h	6/m2/m2/m	6/mmm		191–194	–	–	–	–	Graphit Magnesium
28	kubisch	tetraedrisch-pentagondodekaedrisch	T	23	23	m3	195–199	+	+	–	+	Ullmannit Natriumbromat
29		disdodekaedrisch	T_h	2/m3	m3	m3	200–206	–	–	–	–	Pyrit Kalialaun
30		pentagon-ikositetraedrisch	O	432	432	m3m	207–214	+	+	–	–	Maghemit Petzit
31		hexakistetraedrisch	T_d	43m	43m		215–220	–	–	–	+	Sphalerit Sodalith
32		hexakisoktaedrisch	O_h	4/m32/m	m3m		221–230	–	–	–	–	Diamant Kupfer
↑ Bei den Angaben zu den physikalischen Eigenschaften bedeutet: „−“ aufgrund der Symmetrie verboten „+“ erlaubt. Über die Größenordnung der optischen Aktivität, Pyro- und Piezoelektrizität sowie des SHG-Effekts kann rein aufgrund der Symmetrie keine Aussage getroffen werden; man kann aber davon ausgehen, dass stets eine zumindest schwache Ausprägung der Eigenschaft vorhanden ist. Für die Pyroelektrizität ist, sofern vorhanden, auch die Richtung des pyroelektrischen Vektors angegeben.

Anmerkungen

Der Zusammenhang zwischen der Raum- und der Punktgruppe eines Kristalls ergibt sich folgendermaßen: Die Menge aller Translationen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} einer Raumgruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} bilden einen Normalteiler von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} . Die Punktgruppe des Kristalls ist diejenige Punktgruppe, die zur Faktorgruppe $R/T$ isomorph ist. Die Punktgruppe beschreibt die Symmetrie eines Kristalls am Gamma-Punkt, d. h. seine makroskopischen Eigenschaften. An anderen Stellen der Brillouinzone wird die Symmetrie des Kristalls durch die Sterngruppe des entsprechenden Wellenvektors beschrieben. Diese sind für Raumgruppen, die zur selben Punktgruppe gehören, in der Regel verschieden.

Das „Verbot“ von 5-, 7- und höherzähligen Drehachsen gilt nur für dreidimensional-periodische Kristalle; dagegen kommen sowohl bei Molekülen als auch bei Festkörpern in den Quasikristallen solche Drehachsen vor. Bis zur Entdeckung der Quasikristalle und der darauf folgenden Neudefinition des Begriffs Kristall war das Verbot als für Kristalle universell gültig angenommen worden.^[1]

Das Beugungsbild von Kristallen bei Strukturanalysen mithilfe der Röntgenbeugung enthält gemäß dem Friedelschen Gesetz in Abwesenheit anomaler Streuung immer ein Inversionszentrum. Daher können Kristalle aus den Beugungsdaten nicht direkt einer der 32 Kristallklassen zugeordnet werden, sondern nur einer der 11 zentrosymmetrischen kristallographischen Punktgruppen, die auch als Lauegruppen bezeichnet werden. Durch die Identifikation der Lauegruppe ist auch die Zugehörigkeit des Kristalls zu einem der sieben Kristallsysteme geklärt.

Punktgruppen in der Molekülphysik

Punktgruppen und Molekülsymmetrie
Schoenflies	Hermann-Maugin	Symmetrieelemente	Molekülbeispiele
Punktgruppen geringer Symmetrie
C₁	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1\ }	I/E = C₁	CHFClBr, SOBrCl
C_s ≡ S₁	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m\ }	σ ≡ S₁	BFClBr, SOCl₂
C_i ≡ S₂	${\bar {1}}$	i ≡ S₂	1,2-Dibrom-1,2-Dichlorethan, meso-Weinsäure
ebene Drehgruppen SO(2)
C₂	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\ }	C₂	H₂O₂, S₂Cl₂
C₃	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3\ }	C₃	Triphenylmethan, N(GeH₃)₃
C₄	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4\ }	C₄
C₅	$5\$	C₅	15-Krone-5
C₆	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6\ }	C₆	α-Cyclodextrin
Drehgruppen mit vertikalen Spiegelebenen
C_2v ≡ D_1h	$2mm\$	C₂, 2σ_v	H₂O, SO₂Cl₂, o-/m-Dichlorbenzol
C_3v	$3m\$	C₃, 3σ_v	NH₃, CHCl₃, CH₃Cl, POCl₃
C_4v	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4mm\ }	C₄, 4σ_v	SF₅Cl, XeOF₄
C_5v	-	C₅, 5σ_v	Corannulen, C₅H₅In
C_6v	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6mm\ }	C₆, 6σ_v	Benzol-hexamethylbenzol-chrom(0)
C_∞v	-	C_∞, ∞σ_v	lineare Moleküle wie HCN, COS
Drehgruppen mit horizontalen Spiegelebenen
C_2h ≡ D_1d ≡ S_2v	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2/m\ }	C₂, σ_h, i	Oxalsäure, trans-Buten
C_3h ≡ S₃	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3/m\ }	C₃, σ_h	Borsäure
C_4h	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4/m\ }	C₄, σ_h, i	Polycycloalkan C₁₂H₂₀
C_6h	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6/m\ }	C₆, σ_h, i	Hexa-2-propenyl-benzol
Drehspiegelgruppen
S₄	${\bar {4}}$	S₄	12-Krone-4, Tetraphenylmethan, Si(OCH₃)₄
S₆ ≡ C_3i	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{3}}	S₆	18-Krone-6, Hexacyclopropylethan
Diedergruppen
D₂ ≡ S_1v	$222\$	3C₂	Twistan
D₃	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 32\ }	C₃, 3C₂	Tris-chelatkomplexe
D₄	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 422\ }	C₄, 4C₂	-
D₆	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 622\ }	C₆, 6C₂	Hexaphenylbenzol
Diedergruppen mit horizontalen Spiegelebenen
D_2h	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle mmm\ }	S₂, 3C₂, 2σ_v, σ_h, i	Ethen, p-Dichlorbenzol
D_3h	${\bar {6}}2m$	S₃, C₃, 3C₂, 3σ_v, σ_h	BF₃, PCl₅
D_4h	$4/mmm\$	S₄, C₄, 4C₂, 4σ_v, σ_h, i	XeF₄
D_5h	-	S₅, C₅, 5C₂, 5σ_v, σ_h	IF₇
D_6h	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6/mmm\ }	S₆, C₆, 6C₂, 6σ_v, σ_h, i	Benzol
D_∞h	-	S₂, C_∞, ∞C_2, ∞σ_v, σ_h, i	lineare Moleküle wie Kohlendioxid, Ethin
Diedergruppen mit diagonalen Spiegelebenen
D_2d ≡ S_4v	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{4}2m\ }	S₄, 2C₂, 2σ_d	Propadien, Cyclooctatetraen, B₂Cl₄
D_3d ≡ S_6v	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{3}m\ }	S₆, C₃, 3C₂, 3σ_d, i	Cyclohexan
D_4d ≡ S_8v	-	S₈, C₄, 4C₂, 4σ_d	Cyclo-Schwefel (S₈)
D_5d ≡ S_10v	-	S₁₀, C₅, 5C₂, 5σ_d	Ferrocen
Tetraedergruppen
T	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 23\ }	4C₃, 3C₂	Pt(PF₃)₄
T_h	$m3$	4S₆, 4C₃, 3C₂, 3σ_h, i	Fe(C₆H₅)₆
T_d	${\bar {4}}3m$	3S₄, 4C₃, 3C₂, 6σ_d	CH₄, P₄, Adamantan
Oktaedergruppen
O	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 432\ }	3C₄, 4C₃, 6C₂	-
O_h	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m3m\ }	4S₆, 3S₄, 3C₄, 4C₃, 6C₂, 3σ_h, 6σ_d, i	SF₆, Cuban
Ikosaedergruppen
I	-	12S₁₀, 10S₆, 6C₅, 10C₃, 15C₂	-
I_h	-	12S₁₀, 10S₆, 6C₅, 10C₃, 15C₂, 15σ_v, i	Fulleren-C60, Fulleren-C20 (Pentagondodekaeder)
räumliche Drehgruppen SO(3)
K_h	-	∞C_∞, ∞σ, i	einatomige Teilchen wie Helium, Elementarteilchen

Anwendungen

Die Eigenschaften eines Kristalls hängen im Allgemeinen von der Richtung ab. Daher werden alle Materialeigenschaften durch einen entsprechenden Tensor beschrieben.

Es gibt einen festen Zusammenhang zwischen der Punktgruppe eines Kristalls und der Form des jeweiligen Eigenschaftstensors bzw. der Anzahl seiner unabhängigen Komponenten. Dazu zwei Beispiele:

In Punktgruppen mit einem Inversionszentrum sind alle Komponenten eines ungeraden Tensors identisch Null. Daher gibt es in diesen Punktgruppen keinen Pyroeffekt, keinen Piezoeffekt und auch keine optische Aktivität.
Die elastischen Konstanten sind ein Tensor 4. Stufe, der im Allgemeinen 3⁴ = 81 Komponenten hat. Im kubischen Kristallsystem gibt es aber nur drei unabhängige, von Null verschiedene Komponenten:

C₁₁₁₁ (= C₂₂₂₂ = C₃₃₃₃)
C₁₁₂₂ (= C₂₂₃₃ = C₁₁₃₃) und
C₁₂₁₂ (= C₁₃₁₃ = C₂₃₂₃);

alle andere Komponenten sind Null.

In der Molekül- und Festkörperphysik kann man aus der Symmetrie des Moleküls bzw. Kristalls die Anzahl der infrarot- und raman-aktiven Moden und deren Auslenkungsmuster bestimmen. Eine Zuordnung der gemessenen Frequenzen zu den jeweiligen Moden ist mit gruppentheoretischen Methoden nicht möglich. Kann man diese Zuordnung durchführen, so kann man aus den Frequenzen die Bindungsenergien zwischen den Atomen berechnen.

Literatur

Wolfgang Demtröder: Molekülphysik. Oldenbourg, München 2003, ISBN 3-486-24974-6.
Will Kleber, Hans-Joachim Bautsch, Joachim Bohm, Detlef Klimm: Einführung in die Kristallographie. 19. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59075-3.
Hahn, Theo (Hrsg.): International Tables for Crystallography Vol. A D. Reidel publishing Company, Dordrecht 1983, ISBN 90-277-1445-2
Hollas, J. Michael: Die Symmetrie von Molekülen, Walter de Gruyter, Berlin 1975, ISBN 3-11-004637-7

Weblinks

Commons: Point groups – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Definition der Punktgruppe (IUCr, engl.)
Geometrische Kristallklasse (IUCr, engl.)

Einzelnachweise

↑ The Nobel Prize in Chemistry 2011. In: Nobelprize.org. Abgerufen am 21. Oktober 2011 (englisch).

[Hinweise-1] Bei den Angaben zu den physikalischen Eigenschaften bedeutet:
„−“ aufgrund der Symmetrie verboten

„+“ erlaubt.
Über die Größenordnung der optischen Aktivität, Pyro- und Piezoelektrizität sowie des SHG-Effekts kann rein aufgrund der Symmetrie keine Aussage getroffen werden; man kann aber davon ausgehen, dass stets eine zumindest schwache Ausprägung der Eigenschaft vorhanden ist.
Für die Pyroelektrizität ist, sofern vorhanden, auch die Richtung des pyroelektrischen Vektors angegeben.

[Shechtman-2] The Nobel Prize in Chemistry 2011. In: Nobelprize.org. Abgerufen am 21. Oktober 2011 (englisch).

[Anm. 1]

[1]

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