Q-Analogon

Ein $q$-Analogon ist ein mathematischer Begriff, welcher insbesondere in der Kombinatorik auftritt. Ein $q$-Analogon verallgemeinert dabei eine mathematische Aussage mit Hilfe eines zusätzlichen Parameters $q$, so dass man im Fall $q\to 1$ wieder die ursprüngliche Aussage erhält. Der Begriff spielt auch eine wichtige Rolle in der Theorie der speziellen Funktionen insbesondere in der Theorie der $q$-Polynome.

Elementare Beispiele

Eine natürliche Zahl $n$ besitzt das $q$-Analogon

$[n]_{q}:={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1},$

da $\lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n$.

Kombinatorik

q-Fakultät

Die $q$-Fakultät ist für $n>0$

$[n]_{q}!:=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [1]_{q}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\frac {1-q^{k}}{1-q}},$

und $[0]_{q}!:=1$.

Durch ausmultiplizieren erhält man

$[n]_{q}!=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1}).$

q-Pochhammer-Symbol

Das $q$-Pochhammer-Symbol, auch $q$-Shiftfakultät genannt, ist

$(a;q)_{n}:=\prod \limits _{k=1}^{n}(1-aq^{k-1})$

oder allgemeiner

$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}:=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.$

q-Binomialkoeffizient

Der $q$-Binomialkoeffizient ist

${\binom {n}{k}}_{q}:={\frac {[n]_{q}!}{[k]_{q}![n-k]_{q}!}}=\prod \limits _{j=1}^{k}{\frac {(1-q^{n-j+1})}{(1-q^{j})}}.$

Eigenschaften

Es gilt

$[n]_{q}!={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}$

und

${\binom {n}{k}}_{q}={\frac {(q;q)_{n}}{(q;q)_{k}(q;q)_{n-k}}}.$

q-Spezielle Funktionen

q-hypergeometrische Funktion

Das $q$-Analogon der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion ist die $q$-hypergeometrische Funktion

$\;_{r}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{r}\\b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{s}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s};q)_{n}}}z^{n}\left(-q^{(n-1)/2}\right)^{n(s+1-r)}.$

q-orthogonale Polynome

Die stetigen $q$-Hermitischen Polynome $\{H_{n}(x\mid q)\}$ sind durch folgende Rekursion gegeben

$2xH_{n}(x\mid q)=H_{n+1}(x\mid q)+(1-q^{n})H_{n-1}(x\mid q)$

mit Anfangswerten

$H_{0}(x\mid q)=1,H_{1}(x\mid q)=2x.$

Analysis

Das $q$-Analogon der Exponentialfunktion ist

$e_{q}^{x}:=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.$

q-Kalkül

Das $q$-Analogon der Ableitung einer Funktion $f$ ist die Q-Differenz

$(D_{q}f)(x)={\frac {f(x)-f(qx)}{(1-q)x}},$

dadurch entsteht das sogenannte $q$-Kalkül.

q-Taylorreihe

Das $q$-Analogon von $(x-a)^{n}$ ist

$(x-a)_{q}^{n}:=\prod \limits _{k=0}^{n-1}(x-q^{k}a),$

zusammen mit der $q$-Differenz und der $q$-Fakultät lässt sich nun ein $q$-Analogon zur Taylorreihe für $f$ herleiten

$f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {D_{q}^{n}f(a)(x-a)_{q}^{n}}{[n]_{q}!}}.$

Literatur

• Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, doi:10.1017/CBO9781107325982.