Seiteneinteilung

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Eine Gerade d und die zwei durch sie bestimmten Halbebenen. M und N liegen auf der gleichen Seite von d, während M und P auf verschiedenen Seiten liegen.

In der elementaren Geometrie der Zeichenebene zerlegt jede Gerade die Ebene in zwei (offene) Halbebenen, die Seiten der Gerade, diese Beobachtung ist zunächst der Anschauung entnommen. Diese Seiteneinteilung lässt sich mathematisch beschreiben als Äquivalenzrelation auf der Menge aller Punkte der Ebene, die nicht auf der einteilenden Gerade liegen.

In der analytischen Geometrie kann dies präzisiert und verallgemeinert werden: In einem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -dimensionalen affinen Raum über einem geordneten Körper liefert jede Hyperebene, also jeder -dimensionale Teilraum eine Seiteneinteilung des Gesamtraums in zwei Halbräume.

In der synthetischen Geometrie können alle Seiteneinteilungen, die von Geraden einer affinen Ebene bestimmt sind, durch axiomatische Beschreibung einer Seiteneinteilungsfunktion eingeführt werden, mit der die Ebene zu einer schwach angeordneten Ebene wird. Eine solche Seiteneinteilungsfunktion erlaubt es dann, auf dieser Ebene eine schwache Zwischenbeziehung einzuführen, die durch ein zusätzliches Axiom zu einer Zwischenbeziehung im Sinne von Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie wird.[1] Ebenen mit einer „starken“ Zwischenbeziehung, die den Hilbertschen Anordnungsaxiomen genügt, heißen angeordnete Ebenen. Schwache Seiteneinteilungsfunktionen existieren für desarguesche affine Ebenen genau dann, wenn der Koordinatenschiefkörper der Ebene einen nichttrivialen quadratischen Charakter zulässt und lassen sich durch einen solchen Charakter eindeutig beschreiben. Jede Anordnung einer desargueschen Ebene entspricht eineindeutig einer Anordnung ihres Koordinatenschiefkörpers.

Dieser Artikel beschreibt hauptsächlich die Seiteneinteilung in einer affinen Ebene im Sinne der synthetischen Geometrie. Dabei wird der Begriff der Seiteneinteilung aus der analytischen Geometrie, der für Ebenen ein Spezialfall des synthetischen Begriffes ist, als Leitidee vorangestellt.

Definitionen

Analytische Geometrie

Für eine übersichtliche Darstellung wird hier ein dreidimensionaler Raum zugrundegelegt. Die Seiteneinteilung kann in gleicher Weise in jedem endlichdimensionalen Raum mit einer Hyperebene anstelle der Ebene vorgenommen werden. Sei ein geordneter Körper und der dreidimensionale affine Raum mit dem Koordinatenvektorraum Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle K^{3}} . Jede Ebene lässt sich durch eine inhomogene Koordinatengleichung beschreiben. Das Vorzeichen der affinen Funktion liefert die Seiteneinteilung. Liefert diese Funktion für die Ortsvektoren von zwei Punkten Werte größer 0, dann liegen sie auf derselben Seite der durch beschriebenen (Hyper-)Ebene, ebenso, wenn beide Werte kleiner als 0 sind. Ist einer der Werte kleiner und einer größer als 0, dann liegen die Punkte auf verschiedenen Seiten.

Obgleich die Punktkoordinaten und die (Hyper-)Ebenengleichung von dem gewählten Koordinatensystem abhängen, ändert sich die Seiteneinteilung bei einem Wechsel des Koordinatensystems nicht. Sie hängt allein von der Ordnung des geordneten Körpers ab und bestimmt diese sogar eindeutig.

Synthetische Geometrie

Zum 3. Axiom: Zwei verschiedene Geraden (rot), die die Verbindungsgerade PQ (blau) im gleichen Punkt T schneiden, liefern den gleichen Wert der Seiteneinteilungsfunktion für P und Q. Dies ermöglicht es, die Seiteneinteilungsfunktion zu einer (schwachen) Zwischenfunktion zu machen.

Sei eine affine Inzidenzebene, die Menge ihrer Geraden und die Menge der Tripel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf R= \lbrace (g,P,Q)\in G\times A\times A |P\not\in g \land Q\not\in g\rbrace;}

dann heißt eine Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S: \mathbf R\rightarrow C_2} in die zyklische Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (C_2,\cdot)=\left(\lbrace -1,1\rbrace,\cdot\right)} eine (schwache) Seiteneinteilungsfunktion, wenn folgende Axiome erfüllt sind:

  1. Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle S(g,P,Q)=S(g,Q,P).}
  2. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(g,P,Q)\cdot S(g,Q,R) \cdot S(g,R,P)=+1.}
  3. Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P\neq Q; P,Q\not\in g; P,Q\not\in h} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PQ,g,h} kopunktal, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(g,P,Q)=S(h,P,Q).}
  4. Sind Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle P\neq Q,PQ\parallel g} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PQ\neq g} , so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(g,P,Q)=+1.}
  5. Für jede Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} existieren Punkte mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P,Q\not\in g} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(g,P,Q)=-1.}

Eine affine Inzidenzebene mit einer Seiteneinteilungsfunktion heißt schwach angeordnet.

Aus den ersten beiden Axiomen folgt, dass die Eigenschaft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(g,P,Q)=+1} („auf der gleichen Seite liegen“) bei fester Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} eine Äquivalenzrelation für Punkte ist, die nicht auf der Geraden liegen. Das 4. Axiom besagt, dass Parallelen einer Geraden ganz auf einer Seite der Geraden liegen, das 5. Axiom fordert, dass es zu jeder Geraden zwei verschiedene Seiten gibt. Das 3. Axiom, das auch als Geradenrelation bezeichnet wird, fordert, dass die Seiteneinteilung, die eine schneidende Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} auf einer bestimmten Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PQ} einführt, nur von dem Schnittpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\in g\cap PQ} abhängt.

Zusammenhang zwischen den Definitionen

Definiert man für eine affine Ebene über einem geordneten Körper die Seiteneinteilungsfunktion durch

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sgn} die Vorzeichenfunktion ist, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_1\cdot x_1+a_2\cdot x_2-d=0} eine Gleichung der Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(p_1|p_2)} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q(q_1|q_2)} die Koordinaten der Punkte sind, dann wird diese affine Ebene damit zu einer schwach angeordneten (sogar einer angeordneten) Ebene im Sinne der synthetischen Geometrie und alle abgeleiteten Begriffe sind anwendbar. Insbesondere sind die Seiteneinteilungen, die zwei unterschiedliche Geraden erzeugen, miteinander verträglich im Sinne des 3. Axioms – für schneidende Geraden – bzw. des 4. Axioms – für parallele Geraden.

Eigenschaften und abgeleitete Begriffe

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Zum Begriff der Halbebene und Halbgerade. Die im Text beschriebene Halbebene Y ist hier nicht gekennzeichnet: Sie besteht aus allen Punkten der Geraden t (grün) und den Punkten „rechts“ von t.

Die im Folgenden angegebenen Begriffe sind so im Lehrbuch von Degen[2] definiert. Abweichend hiervon gibt es in der Literatur unterschiedlich Konventionen darüber, ob eine Halbebene ohne Attribute „offen“ oder „abgeschlossen“ sein soll, also ob sie ihre „Randgerade“ enthält, ebenso darüber, ob eine „Halbgerade“ ihren Anfangspunkt enthält.[3]

  • Für jede Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} existieren zwei disjunkte, nichtleere Mengen, die Seiten von , wobei zwei Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P,Q\in A\setminus g} genau dann zur gleichen Seite gehören, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(g,P,Q)=+1} ist.
  • Die Seite von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} , die einen bestimmten Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P\in A\setminus g} enthält, wird als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle gP^+} (vergleiche die Abbildung rechts: die Punktmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E=gP^+} ist rötlich gefärbt), die andere Seite als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle gP^-} notiert.
  • Es gilt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle A=gP^{+}\;\;\!\!{\dot {\cup }}\;\;\!\!g\;\;\!\!{\dot {\cup }}\;\;\!\!gP^{-}.}
  • Die Vereinigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X=gP^+\cup g} wird als (abgeschlossene) Halbebene bezeichnet, die Seite als deren Inneres Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^\circ=gP^+} , die Gerade als deren Rand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial X=g} .
  • Die Halbebenen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle gP^+\cup g} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle gP^-\cup g} heißen zueinander entgegengesetzt.
  • Der Schnitt zweier entgegengesetzter Halbebenen ist ihr gemeinsamer Rand.
  • Eine Gerade, die zum Rand einer Halbebene parallel ist und mit der Halbebene mindestens einen Punkt gemeinsam hat, liegt ganz in der Halbebene.
  • Eine Gerade ist genau dann nicht parallel zum Rand einer Halbebene, wenn sie Punkte der Halbebene enthält, aber nicht ganz in der Halbebene liegt.
  • Der Durchschnitt einer Halbebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} mit einer Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} , die nicht parallel zum Rand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial Y=t} ist, wird als Halbgerade bezeichnet, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\in\partial Y \cap g} als ihr Anfangspunkt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} als Trägergerade der Halbgeraden. (Vergleiche die Abbildung oben rechts: Die die Halbgerade h „ausschneidende Gerade“ t ist dort grün gekennzeichnet.) Zwei Halbgeraden, die als Durchschnitte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} mit zwei entgegengesetzten Halbebenen entstehen, heißen entgegengesetzt.
  • Aufgrund des 3. Axioms der Seiteneinteilungsfunktion gibt es zu einer Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} und einem Anfangspunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\in g} genau zwei Halbgeraden und diese hängen als Mengen nicht davon ab, welche Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\neq g} ) durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} die definierenden entgegengesetzten Halbebenen ausschneidet.

Die hier definierten Begriffe lehnen sich an topologische Begriffe („Inneres“, „Rand“) an. Legt man die Menge aller Seiten (das „Innere“ für alle Halbebenen) als Subbasis zugrunde, dann wird dadurch auf der Ebene tatsächlich eine Topologie definiert. Enthält die Ebene unendlich viele Punkte, was für eine affine Ebene über einem geordneten Körper stets der Fall ist, dann gelten die definierten Begriffe auch im topologischen Sinn. In einer endlichen Ebene entsteht allerdings eine triviale, nämlich die diskrete Topologie.

Zwischenrelation

Zu jeder Seiteneinteilungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} auf einer affinen Ebene gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline S} auf der Menge der kollinearen Punktetripel der Ebene

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{\mathbf R}=\lbrace(T,P,Q)\in A\times A \times A| T,P,Q \quad\text{sind kollinear},T\neq P, T\neq Q\rbrace. }

Sie wird definiert, indem für irgendeine Gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} , die weder durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} noch durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} geht,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline S(T,P,Q)=S(g,P,Q)}

gesetzt wird. Dass diese Definition unabhängig von der Wahl von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} ist, folgt aus dem 3. Axiom für die Seiteneinteilungsfunktion. Die surjektive Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline S:\, \overline{\mathbf R} \rightarrow C_2} heißt die von der Seiteinteilungsfunktion induzierte schwache Zwischenfunktion. Die schwache Zwischenfunktion ist invariant unter Parallelprojektionen.

Zum Axiom (Z) einer schwachen Zwischenfunktion: In einem nichtentarteten Dreieck (rote Punkte) bilden 3 Punkte (blau), die zwischen unterschiedlichen Punktepaaren des Ausgangsdreiecks liegen, wieder ein nichtentartetes Dreieck.

Man sagt dann, „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} liegt zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} “, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (T,P,Q)\in\overline{\mathbf R }} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{S}(T,P,Q)=-1} ist und nennt diese dreistellige Relation schwache Zwischenbeziehung. Diese Relation erfüllt folgende Axiome (→ vergleiche dazu Axiome der Anordnung (Gruppe II) in Hilberts Axiomensystem):

(A1) Liegt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} , dann sind die drei Punkte kollinear und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} liegt auch zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} .
(A2) Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} verschiedene Punkte, so existiert ein Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} , der zwischen ihnen liegt.
(A4, Axiom von Pasch) Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_1,P_2,P_3} drei nicht kollineare Punkte, und ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} eine Gerade, die durch keinen dieser Punkte geht und einen Punkt zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_2} enthält, dann enthält Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} auch einen Punkt zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_2} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_3} oder einen zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_3} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_1} .
(Z) Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_1,P_2,P_3} drei nicht kollineare Punkte und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_1,Q_2,Q_3} Zwischenpunkte der drei Verbindungsstrecken dieses Dreiecks, dann sind auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q_1,Q_2,Q_3} nicht kollinear.

Das Axiom (Z) lässt sich auch gleichwertig als Ergänzung zu (A4), dem Axiom von Pasch formulieren: „…dann enthält Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} auch einen Punkt zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_2} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_3} oder einen zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_3} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_1} , niemals beides!“ – Das „Oder“ in dem Axiom (A4) wird also durch (Z) zum ausschließenden Oder.

Nun gilt: Genügt eine dreistellige Relation in einer affinen Inzidenzebene den Axiomen (A1), (A2), (A4) und (Z), dann existiert eine eindeutig bestimmte Seiteneinteilungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} , aus der sich diese Zwischenbeziehung über die von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} induzierte Zwischenfunktion wie oben beschrieben definieren lässt. Die Seiteneinteilungsfunktion kann aus der Zwischenfunktion direkt berechnet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(g,P,Q)=\begin{cases} +1,\;\text{ falls}\; P=Q \text{ oder } PQ\parallel g\\ \overline{S}(T,P,Q)\; \text{ mit } T\in g\cap PQ,\;\text{falls } P\neq Q\, \text{ und } PQ\not\parallel g. \end{cases}}

Schwache Anordnung auf desargueschen Ebenen

Eine desarguesche Ebene ist isomorph zu einer Koordinatenebene über einem Schiefkörper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} . Zu drei kollinearen Punkten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T,P,Q} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\neq P} gibt es immer genau ein Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha\in K} , den Streckungsfaktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha=\operatorname{SF}(T,P,Q)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha(\overrightarrow{TP})=\overrightarrow{TQ}} , umgekehrt gibt es zu jedem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha\in K} ein kollineares Punktetripel mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha=\operatorname{SF}(T,P,Q)} (→ siehe dazu Affine Translationsebene). Weil sowohl der Streckungsfaktor als auch die Zwischenfunktion invariant unter Parallelprojektionen ist, kann man eine wohldefinierte Zuordnung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^*\rightarrow C_2,\quad \alpha \mapsto \overline{S}(T,P,Q);\quad \alpha=\operatorname{SF}(T,P,Q)}

definieren, die ein nichttrivialer quadratischer Charakter von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} ist.

Umgekehrt kann jeder nichttriviale quadratische Charakter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi} des Schiefkörpers zur Definition einer schwachen Zwischenfunktion verwendet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{S}:\overline{\mathbf R}\rightarrow C_2,\quad (T,P,Q)\mapsto \chi\left(\operatorname{SF}(T,P,Q)\right).}

Jede schwache Seiteneinteilung auf einer desargueschen Ebene wird so durch einen nichttrivialen quadratischen Charakter des Koordinatenschiefkörpers induziert und umgekehrt. Auf einer desargueschen Ebene existiert also genau dann eine schwache Seiteneinteilungsfunktion, wenn sein Koordinatenschiefkörper einen nichttrivialen quadratischen Charakter zulässt und zu jedem solchen Charakter existiert eine schwache Anordnung der Ebene.

Angeordnete Ebene

Das dritte Hilbertsche Anordnungsaxiom lautet

(A3) Liegt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} , so liegt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} nicht zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} .

Aus den Hilbertschen Axiomen (A1) bis (A4) folgt das Axiom (Z). Eine affine Ebene mit einer Zwischenrelation, die die Axiome (A1) bis (A4) und damit automatisch auch (Z) erfüllt, wird als angeordnete Ebene bezeichnet.

Eigenschaften

  • In einer angeordneten affinen Inzidenzebene liegt von drei verschiedenen kollinearen Punkten genau einer zwischen den beiden anderen.
  • Jede angeordnete affine Inzidenzebene ist auch schwach angeordnet.
  • Die Anordnung (Zwischenbeziehung) lässt sich mit einer eindeutig durch sie bestimmten Seiteneinteilungsfunktion bzw. mit der durch sie bestimmten Zwischenfunktion beschreiben. Sie ist also im Falle einer desargueschen Ebene wie die schwache Anordnung durch einen nichttrivialen quadratischen Charakter eindeutig bestimmt.
  • In einer angeordneten Ebene und in einer endlichen, schwach angeordneten Ebene gilt das affine Fano-Axiom, daher existiert in diesen Fällen zu zwei beliebigen Punkten stets ein Mittelpunkt. Dieser Mittelpunkt liegt dann immer (im Sinne der jeweiligen Zwischenbeziehung) zwischen den beiden Punkten.
  • Kann die affine Translationsebene, die durch Schlitzen aus einer Moufangebene entsteht, zu einer angeordneten Ebene gemacht werden, dann sind beide Ebenen desarguesch.[4]

Desarguesche angeordnete Ebene

Die Anordnung eines Schiefkörpers Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} muss die gleichen Axiome erfüllen wie die Ordnung eines geordneten Körpers, woraus folgt, dass sie durch einen Positivbereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^+=\!\,\lbrace \alpha \in K |\; 0 < \alpha \rbrace} eindeutig bestimmt ist, der folgende Eigenschaften hat (→ vergleiche geordneter Körper):

  1. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a,b\in K^+ \Rightarrow a+b\in K^+,}
  2. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a,b\in K^+ \Rightarrow a\cdot b\in K^+,}
  3. für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a\in K} gilt genau eine der Beziehungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a\in K^+,\, -a\in K^+, a=0} .

Durch jeden solchen Positivbereich ist ein quadratischer Charakter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi} bestimmt, der auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^+} positiv, auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -K^+} negativ ist und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi(-1)=-1} erfüllt. Umgekehrt bestimmt jeder quadratische Charakter mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi(-1)=-1} einen Bereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L=\chi^{-1}(1)} , der allerdings im Allgemeinen nur die 2. und 3. Eigenschaft eines Positivbereiches hat.

Der folgende Satz klärt den Zusammenhang zwischen der Anordnung einer desargueschen Ebene und der Anordnung ihres Koordinatenschiefkörpers:

Der Koordinatenschiefkörper einer angeordneten desargueschen Ebene lässt eine Anordnung zu. Umgekehrt lässt die affine Ebene über einem angeordneten Schiefkörper sich anordnen. Jede Anordnung des Schiefkörpers induziert eine „starke“ Zwischenfunktion auf der Ebene und umgekehrt. Der Zusammenhang wird durch die Gleichwertigkeit
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline S(T,P,Q)=+1 \Leftrightarrow \operatorname{SF} (T,P,Q) > 0 }
für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (T,P,Q)\in\overline{R}} vermittelt.

Beispiele

  • Die affine Ebene über einem geordneten Körper wird durch die oben beschriebene Seiteneinteilungsfunktion zu einer angeordneten Ebene. Der quadratische Charakter ordnet jeder Zahl des Körpers außer 0 ihr Vorzeichen als Zahl in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_2=\lbrace -1,+1\rbrace} zu.
  • Ein formal reeller Körper lässt mindestens eine Ordnung zu, die ihn zu einem geordneten Körper macht. Jede dieser Körperordnungen bestimmt wie im vorigen Beispiel einen nichttrivialen quadratischen Charakter und damit eine Anordnung der affinen Ebene über dem Körper.
  • Ein euklidischer Körper lässt nur einen nichttrivialen quadratischen Charakter zu, der jeder Quadratzahl 1 und jeder Nichtquadratzahl −1 zuordnet, (siehe dazu auch Quadratklasse). Daher ist auf der affinen Ebene über einem solchen Körper genau eine schwache Seiteneinteilung möglich, mit der diese Ebene zu einer „stark“ angeordneten Ebene wird.
  • Der Körper der komplexen Zahlen und allgemeiner jeder algebraisch abgeschlossene Körper lässt nur den trivialen Charakter als quadratischen Charakter zu. Daher ist auf einer affinen Ebene über einem solchen Körper keine schwache Anordnung möglich.
  • Auf dem Körper der rationalen Zahlen können unendlich viele nichttriviale quadratische Charaktere definiert werden: Teilt man die Menge der Primzahlen willkürlich in zwei disjunkte Teilmengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_+} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_-} auf, dann wird durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi(P_+)=+1,\chi(P_-)=-1} und die Wahl eines Vorzeichens für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi(-1)} ein Charakter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi} eindeutig bestimmt. Damit sind alle quadratischen Charaktere von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Q^*} beschrieben. Jeder dieser Charaktere außer dem trivialen (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_-=\emptyset,\chi(-1)=1} ) bestimmt eine schwache Anordnung der affinen Ebene über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Q} . Genau für den durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_-=\emptyset, \chi(-1)=-1} beschriebenen Charakter ist die schwache Anordnung eine Anordnung, die „gewöhnliche“ Anordnung der rationalen Ebene.
  • Jeder Restklassenkörper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K=\Z /p\Z} zu einer ungeraden Primzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} besitzt ein Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta} , das die zyklische multiplikative Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^*} des Körpers erzeugt. Durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi(\beta)=-1} ist ein nichttrivialer quadratischer Charakter auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^*} als Gruppenhomomorphismus eindeutig definiert. Dies ist der einzige nichttriviale quadratische Charakter des Körpers, daher kann die desarguesche Ebene über einem solchen Körper auf genau eine Art schwach angeordnet werden.
  • Die affine Ebene über dem Restklassenkörper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K=\Z /13\Z} wird durch ihren einzigen nichttrivialen quadratischen Charakter zu einer schwach angeordneten Ebene. 2 ist ein erzeugendes Element von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K^*} . Für ein Punktetripel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (T,P,Q)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{SF}(T,P,Q)=2^2=4} ändert sich die Zwischenfunktion bei zyklischer Vertauschung der Punkte in dem Tripel nicht. Daher liegt keiner der drei verschiedenen kollinearen Punkte zwischen den beiden anderen.[5]
  • Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} ein beliebiger Körper und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K=F(X)} der rationale Funktionenkörper über diesem Körper, dann kann durch den Grad der rationalen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \frac{f}{g} \neq 0} ein nichttrivialer quadratischer Charakter auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} eingeführt werden: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \chi \left( \frac{f}{g} \right)=-1} genau dann, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \deg \left(\frac{f}{g}\right)=\deg (f)-\deg(g)} ungerade ist. Durch diesen Charakter lässt sich die affine Ebene über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} schwach anordnen. – Dies ist also auch über gewissen unendlichen Körpern mit Charakteristik 2 möglich!
  • Ein endlicher Körper mit Charakteristik 2 lässt keinen nichttrivialen quadratischen Charakter zu, daher existiert auf einer affinen Ebene über einem solchen Körper nie eine Seiteneinteilung.

Literatur

Originalliteratur
  • David Hilbert: Grundlagen der Geometrie. 14. Auflage. Teubner, Stuttgart/Leipzig 1899, ISBN 3-519-00237-X (Online-Kopie der Ausgabe von 1903 [abgerufen am 25. Juli 2013]).
  • Erich Glock: Die Orientierungsfunktionen eines affinen Raumes. In: Mathematische Zeitschrift. Band 78, 1962, S. 319–360.
  • Erich Glock: Ordnungsfunktionen, die auf Seiteneinteilungen besonderer Art führen. In: Mathematics and Statistics, Archiv der Mathematik. Band 12, Nr. 1, S. 71–77, doi:10.1007/BF01650526.
  • Emanuel Sperner: Die Ordnungsfunktionen einer Geometrie. In: Math. Ann. Band 121, 1949, S. 107–130.
  • Emanuel Sperner: Beziehungen zwischen geometrischer und algebraischer Anordnung. In: Sitzungsbericht Heidelberger Akad. Wiss. Math. Naturwiss. Kl. 1949, S. 413–448.
Lehrbücher
  • Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
  • Heinz Lüneburg: Die euklidische Ebene und ihre Verwandten. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1999, ISBN 3-7643-5685-5 (Digitalisierte Leseprobe bei google-books [abgerufen am 25. Juli 2013]).
  • Günter Pickert: Projektive Ebenen. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1975, ISBN 3-540-07280-2, 9:Angeordnete Ebenen (Zusammenhang der Anordnung (Zwischenbeziehung) einer affinen Ebene zu einer Trennungsrelation in ihrem projektiven Abschluss).

Einzelnachweise

  1. ↑ Hilbert (1899), 1 §3: Axiome der Anordnung
  2. ↑ Degen (1976)
  3. ↑ Dazu etwa Lüneburg (1999)
  4. ↑ Pickert (1975) S. 240.
  5. ↑ Degen (1976) S. 105.
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