Selbergs zentraler Grenzwertsatz

Selbergs zentraler Grenzwertsatz ist ein Satz aus der stochastischen Zahlentheorie, welcher die Verteilung der riemannschen Zeta-Funktion auf der kritischen Gerade charakterisiert. Der Satz sagt im Wesentlichen, dass sich die Verteilung der Absolutwerte

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|}

unter korrekter Normierung der Log-Normalverteilung annähert. Die stochastische Komponente kommt dabei von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} , welches man aus einem beliebigen aber großen Interval unter der Gleichverteilung zieht. Verzichtet man auf die Betragsstriche, so nähert sich die Verteilung der komplexen Log-Normalverteilung.

Das Theorem wurde 1946 in etwas anderer Form von Atle Selberg bewiesen. Er bewies eine leicht stärkere Aussage für das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} -te Moment von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{arg}\zeta(\tfrac{1}{2}+it)} , welche das Theorem für das Argument impliziert. Die heutige Fassung stammt von Selberg und Tsang.

Die Aussage benötigt die riemannsche Vermutung nicht.

Selbergs zentraler Grenzwertsatz

Notation:

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{CN}(0,1)} ist die komplexe Standardnormalverteilung, das heißt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{CN}(0,1)=\mathcal{N}(0,1)+i\mathcal{N}(0,1).}
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Uni}([T,2T])} ist die stetige Gleichverteilung auf Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle [T,2T]} .

Komplexe Variante des Theorems

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T>0} eine genügend große Zahl und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\sim \operatorname{Uni}([T,2T])} . Definiere Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma:=\left(\sqrt{\tfrac{1}{2} \log \log T}\right)} , dann konvergiert die Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{\sigma} \log \zeta(\tfrac{1}{2}+it)} in Verteilung zu einer komplexen Normalverteilung.

In Formeln:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{\sigma} \log \zeta(\tfrac{1}{2}+it)\xrightarrow{d} \mathcal{CN}(0,1),\quad T\to \infty.}

Reelle Variante des Theorems

Aus der Beziehung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log(s)=\log(|s|)+i \operatorname{arg}s}

folgt insbesondere für den reellen Teil

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{\sigma} \log |\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|\xrightarrow{d} \mathcal{N}(0,1)}

und für den imaginären Teil

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}\operatorname {arg} \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)\xrightarrow {d} {\mathcal {N}}(0,1).}

Erläuterungen

Die Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|} nähert sich einer zentrierten Log-Normalverteilung mit ungefährer Log-Varianz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma^2\approx \left(\tfrac{1}{2} \log \log T\right).}

Entfernen von Log(0)

Der Satz gilt auch für die Zufallsvariable

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{\sigma} S=\begin{cases} 0 & \text{falls } \zeta(\tfrac{1}{2}+it)=0,\\ \frac{1}{\sigma} \log \zeta(\tfrac{1}{2}+it) & \text{sonst}. \end{cases}}

Selbergs Variante für den k-ten Moment

Selberg bewies für positive ganzzahlige Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{T}\int_T^{2T} (\operatorname{arg}\zeta(\tfrac{1}{2}+it))^{2k}\mathrm{d}t=2^{-2k}\binom{2k}{k}k!(\log\log T)^{k}+\mathcal{O}\left((\log\log T)^{k-\tfrac{1}{2}}\right).}

Der Fall $\log |\zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)|$ wurde von Selberg auch untersucht und er lieferte eine Beweismöglichkeit, aber vollständig bewiesen wurde die Aussage für den Absolutwert erst 1984 durch Tsang.

Selberg erkannte, dass dies die Momente einer zentrierten gaußschen Zufallsvariable sind, und folgerte daraus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{T}\lambda\big(\left\{0\leq t \leq T:\tfrac{1}{\sigma}\log|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|\geq r\right\}\big)\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_r^{\infty} e^{\frac{-u^2}{2}}\mathrm{d}u}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} das Lebesgue-Maß bezeichnet.

Literatur

• Maksym Radziwiłł und Kannan Soundararajan: Selberg's central limit theorem for Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \log |\zeta(\tfrac{1}{2}+it)|} . Hrsg.: arXiv. 2015, doi:10.48550/ARXIV.1509.06827, arxiv:1509.06827 [abs]. 
• Ciprian Tudor: Multidimensional Selberg theorem and fluctuations of the zeta zeros via Malliavin calculus. Hrsg.: arXiv. 2016, doi:10.48550/ARXIV.1601.02515, arxiv:1601.02515 [abs]. 
• Patrick Kühn: On Selberg’s central limit theorem. Hrsg.: ETH Zürich. 2011 (researchgate.net – Masterarbeit). 
• Terence Tao: Selberg’s limit theorem for the Riemann zeta function on the critical line. 2009, abgerufen am 7. August 2022 (Blog Artkel).