Vecten-Punkt

Erster Vecten-Punkt V₁ mit Kiepert-Dreieck ${\mathcal {K}}_{\frac {\pi }{4}}$ (rot)

Die beiden Vecten-Punkte gehören zu den besonderen Punkten eines Dreiecks. Sie gehen zurück auf den französischen Mathematiker Vecten (1811/1812) zurück.

Erster Vecten-Punkt

Über den Seiten eines Dreieck ABC werden nach außen drei Quadrate gezeichnet. Jeder der drei Quadratmittelpunkte, die das Kiepert-Dreieck ${\mathcal {K}}_{\frac {\pi }{4}}$ bilden, wird mit der gegenüberliegenden Ecke des ursprünglichen Dreiecks verbunden. Die Verbindungsgeraden schneiden sich in einem Punkt, der als erster Vecten-Punkt bezeichnet wird und die Kimberling-Nummer X(485) trägt.

Zweiter Vecten-Punkt

Zweiter Vecten-Punkt V₂

Zeichnet man die Quadrate nach innen statt nach außen, so erhält man den zweiten Vecten-Punkt mit Kimberling-Nummer X(486).

Eigenschaften

• Die beiden Vecten-Punkte liegen auf der Kiepert-Hyperbel.
• Die Vecten-Punkte liegen mit dem Mittelpunkt des Feuerbach-Kreises (Neun-Punkte-Kreises) auf einer Geraden.

Koordinaten

Vecten-Punkte ($X_{485}$ und $X_{486}$)
Trilineare Koordinaten	$\sec \left(\alpha \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:\,\sec \left(\beta \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:\,\sec \left(\gamma \pm {\frac {\pi }{4}}\right)$
Baryzentrische Koordinaten	$\sin \alpha \cdot \sec \left(\alpha \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:\,\sin \beta \cdot \sec \left(\beta \pm {\frac {\pi }{4}}\right)\,:\,\sin \gamma \cdot \sec \left(\gamma \pm {\frac {\pi }{4}}\right)$
Das Pluszeichen gilt für den ersten Vecten-Punkt, das Minuszeichen für den zweiten.

Literatur

• Sotirios E. Louridas, Michael Th. Rassias: Problem-Solving and Selected Topics in Euclidean Geometry: In the Spirit of the Mathematical Olympiads. Springer, 2014, ISBN 978-1-4614-7273-5, S. 62–63
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 4–7, 93

Weblinks

• Kimberling’s Encyclopedia of Triangle Centers (englisch)
• Eric W. Weisstein: Vecten Points. In: MathWorld (englisch).