Quelltext der Seite Äquivalenzsatz von Lax

In der [[numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] ist der '''Äquivalenzsatz von Lax''' der fundamentale Satz bei der Analyse der [[Finite-Differenzen-Methode]] für die numerische Lösung von [[partielle Differenzialgleichung|partiellen Differenzialgleichungen]].
Die Behauptung ist, dass für ein [[Korrekt gestelltes Problem|korrekt gestelltes]] lineares [[Anfangswertproblem]] eine [[Konsistenz (Numerik)|konsistente]] Methode genau dann [[Grenzwert (Folge)|konvergent]] ist, wenn sie [[stabilität (Numerik)|stabil]] ist.<ref>John C. Strikwerda: ''Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations''. Chapman & Hall, 1989, S. 26/222 (englisch).</ref>

Der Satz bedeutet, dass zwar die erwünschte Konvergenz der Lösung der Finite-Differenzen-Methode für die Lösung der partiellen Differentialgleichung nur sehr schwer feststellbar ist, da die numerische Lösung [[Rekursion|rekursiv]] definiert ist. Jedoch ist die Konsistenz der Methode, d.&nbsp;h., dass die numerische Methode die Differenzialgleichung approximiert, einfach zu überprüfen, und Stabilität ist üblicherweise viel einfacher zu zeigen als die Konvergenz (dies würde ohnehin nachzuweisen sein, um zu zeigen, dass Rundungsfehler die Lösung nicht verfälschen). Daher wird Konvergenz üblicherweise über den Äquivalenzsatz gezeigt.

Stabilität heißt in diesem Zusammenhang, dass eine [[Matrixnorm]] der Matrix, die in der Iteration benutzt wird, höchstens [[Eins]] ist. Dies wird (praktische) Lax-Richtmyer-Stabilität genannt.<ref>G.D. Smith: ''Numerical Solution of Partial Differential Equations: Finite Difference Methods, 3rd ed.'' Oxford University Press, 1985, S. 67–68 (englisch).</ref> Oft wird  stattdessen eine [[Von-Neumann-Stabilitätsanalyse]] durchgeführt, obgleich eine Von-Neumann-Stabilität eine Lax-Richtmyer-Stabilität nur in bestimmten Fällen impliziert.

Der Satz ist nach [[Peter Lax]] benannt. Manchmal wird er auch nach Peter Lax und [[Robert Richtmyer]] als '''Lax-Richtmyer-Satz''' bezeichnet.<ref>P.D. Lax, R.D. Richtmyer: ''Survey of the stability of linear finite difference equations''. [[Communications on Pure and Applied Mathematics|Comm. Pure Appl. Math.]] 9 (1956), 267–293 [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=79204 MR0079204] {{DOI|10.1002/cpa.3160090206}} (englisch).</ref>

== Einzelnachweise ==
<references/>

== Weblinks ==
* [http://amsglossary.allenpress.com/glossary/search?id=lax-equivalence-theorem1 American Meteorological Society Glossary] (englisch)
* [http://how.gi.alaska.edu/ao/sim/chapters/chap5.pdf Methods of Numerical Simulation, Chapter 5] (PDF-Datei, S. 62, englisch; 97&nbsp;kB)

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[[Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Lax, Aquivalenzsatz von]]