Quelltext der Seite Alpha-stabile Verteilungen

[[Datei:Levy distributionPDF.png|mini|[[Dichtefunktion]]en einiger symmetrischer α-stabiler Verteilungen]]
Die Familie der '''α-stabilen Verteilungen''' ist eine [[Verteilungsklasse]] von stetigen [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en aus der [[Stochastik]], die durch folgende definierende Eigenschaft beschrieben werden: sind <math>X_1,X_2, \dotsc, X_n, X </math> [[Unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen|unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen]], und gilt für die Summe
: <math>X_1+X_2+ \dotsb+X_n \sim c_n X</math> für alle <math> n \in \mathbb{N} </math> und eine Folge <math> (c_n)_{n\in \N}</math>,
so nennt man <math>X</math> ''stabil verteilt'', wobei <math>\sim</math> als „hat dieselbe Verteilung wie“ zu lesen ist.
Man kann zeigen, dass die einzig mögliche Wahl <math> c_n=n^{1/\alpha}, \alpha \in (0,2] </math> ist. Die reelle Zahl <math>\alpha</math> nennt man hierbei den Formparameter.
Da die Theorie der stabilen Verteilungen maßgeblich durch [[Paul Lévy (Mathematiker)|Paul Lévy]] mitgestaltet wurde, nennt man jene Verteilungen deshalb auch manchmal '''Lévy-stabile Verteilungen'''.

== Beispiele ==
Obwohl die stabilen Verteilungen für jedes <math>\alpha</math> des obigen Intervalls wohldefiniert sind, ist nur für wenige spezielle Werte von α die Dichte explizit gegeben:
* Die [[Normalverteilung]] mit [[Erwartungswert]] 0 ist stabil mit Formparameter <math>\alpha=2</math>, denn bekanntlich gilt
: <math>X_1, X_2, \ldots, X_n \sim \mathcal{N} (0,\sigma^2) \Rightarrow \sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{N} (0,n \sigma^2) \sim n^{1/2} \mathcal{N} (0,\sigma^2)</math>. Die Normalverteilung ist die einzige Verteilung mit dem Formparameter <math>\alpha=2</math>.

* Die zentrierte [[Cauchy-Verteilung]] erfüllt die Gleichung
: <math>X_1, X_2, \ldots, X_n \sim {\rm Cauchy} (0,a) \Rightarrow \sum_{i=1}^n X_i \sim n \, {\rm Cauchy} (0,a)</math>
: sie ist also stabil mit Formparameter <math>\alpha=1</math>.

* Die (eigentliche) Standard-[[Lévy-Verteilung]] ist stabil mit <math>\alpha=\frac{1}{2}</math>.

== Eigenschaften ==

[[Datei:Levyskew distributionPDF.png|miniatur|α-stabile Verteilungen für unterschiedliche Werte des Schiefeparameters]]
* Die [[charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] einer α-stabilen Verteilung ist für <math>\alpha \neq 1</math> gegeben durch<ref>[[Rick Durrett]]: ''Probability: Theory and Examples.'' 4. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge u.&nbsp;a. 2010, ISBN 978-0-521-76539-8, S. 141.</ref>
:: <math>\psi_{\alpha, \beta}(u)=\exp\left(-|u|^\alpha \left(1-i \beta \tan\left(\frac{\pi \alpha}{2}\right) \sgn(u)\right)\right)</math>.

:Der Parameter <math>\beta \in [-1,1] </math> ist hierbei frei wählbar und heißt ''Schiefeparameter''.

:Für <math>\alpha = 1</math> ergibt sich
::<math>\psi_{\alpha, \beta}(u)=\exp\left(-|u| \left(1+i \beta \frac{2}{\pi}\log(|u|) \sgn(u)\right)\right)</math>.

* Endliche [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] existiert nur für <math>\alpha=2</math>. Dies folgt unmittelbar aus dem [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]].
* Für <math>1<\alpha\leq2</math> hat die Verteilung den [[Erwartungswert]] 0, für <math>\alpha\leq1</math> existiert kein Erwartungswert. Dies folgt mit dem [[Gesetz der großen Zahlen]].
* Alle α-stabilen Verteilungen sind [[Unendliche Teilbarkeit|unendlich teilbar]] und ''selbstähnlich'' („selfdecomposable“).

== Literatur ==

* Achim Klenke: ''Wahrscheinlichkeitstheorie.'' 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 16.

== Einzelnachweise ==

<references />

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[[Kategorie:Verteilungsklasse]]